DEFINICIÓN DE ESPACIO VECTORIAL

4.1 DEFINICIÓN DE ESPACIO VECTORIAL.

Sean K un cuerpo dado y V un conjunto no vacío, con reglas de suma y producto por escalar que asigna a cada par u, vϵV una suma u+vϵV y a cada par uϵV, kϵK un producto kuϵV. V recibe el nombre de espacio vectorial sobre K (y los elementos de V se llaman vectores) si satisfacen los siguientes axiomas.

[A1] para toda terna de vectores u, v, wϵV, (u+v)+w=u+(v+w).

[A2] existe un vector en V, denotado por 0 y denominado el vector cero, tal que u+0=u para todo vector uϵV.

[A3] para todo vector uϵV existe un único vector en V, denotado por –u, tal que u+(-u)=0.

[A4] para todo par de vectores u, vϵV, u+v=v+u.

[M1] para todo escalar kϵK y todo par de vectores u, vϵV, k(u+v)=ku+kv.

[M2] para todo par de escalares a, bϵK y todo vector uϵV, (a+b)u=au+bu.

[M3] para todo par de escalares a, bϵK y todo vector uϵV, (ab)u=a(bu).

[M4] el escalar unidad 1ϵK cumple 1u=u para todo vector uϵV.

Los axiomas precedentes se desdoblan de forma natural en dos categorías. Los cuatro primeros atañen únicamente a la estructura aditiva de V y pueden resumirse diciendo que V es un grupo conmutativo bajo la suma. De ello se deriva que cualquier suma de vectores de la forma v1+v2+…+vm no requieren paréntesis y no depende del orden de los sumandos, que el vector cero, 0, es único, que el opuesto –u de u es único y que se verifica la ley de cancelación; esto es, para tres vectores cualesquiera u, v, wϵV.

U+w=v+w implica u=v. Asimismo, la resta se define según u-v=u+(-v).

Por otra parte, los cuatro axiomas restantes se refieren a la <<acción>> del cuerpo K sobre V. observece que la rotulación de los axiomas refleja este desdoblamiento. Empleando estos axiomas adicionales probaremos las siguientes propiedades elementales de un espacio vectorial.

4.2 DEFINICIÓN DE SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES.

Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K. W se denomina un subespacio de V si es a su vez un espacio vectorial sobre K con respecto a las operaciones de V, suma vectorial y producto por un escalar. Un criterio simple para identificar subespacios es el siguiente.

Teorema: supongamos que W es un subconjunto de un espacio vectorial V. entonces W es un subespacio de V si y solo si se cumple:

1. 0єW

2. W es cerrado bajo la suma de vectores, es decir: para todo par de vectores u, vєW, la suma u+vєW.

3. W es cerrado bajo el producto por un escalar, esto es: para todo uєW y para todo kєK el múltiplo kuєW.

Corolario: W es un subespacio de V si y solo si:

1. 0єW.

2. au+bvєW para todos los u, vєW y a, bєK.

Teorema: la intersección de cualquier número de subespacios de un espacio vectorial V es un subespacio de V.

Recuérdese que toda solución de un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas AX=B puede verse como un punto en Kn y por tanto el conjunto solución de tal sistema es un subconjunto de Kn. Supongamos que el sistema homogéneo, es decir, supongamos que el sistema tiene la forma AX=0. Denotemos por W su conjunto solución. Como A0=0, el vector cero 0ÎW además, si u y v pertenecen a W, esto es, si u y v son soluciones de AX=0, necesariamente Au=0 y Av=0. Por esta razón, para todo par de escalares a y b en K, tendremos A(au+bv)=aAu+bAv=a0+b0=0+0=0. De esta manera, au + bv es también una solución de AX=0 o, dicho de otro modo, au+bvÎW. En consecuencia, según el corolario, hemos demostrado:

Teorema: el conjunto solución W de un sistema homogéneo con n incógnitas AX=0 es un subespacio de kn.

Hacemos énfasis en que el conjunto solución de un sistema inhomogéneo AX=B no es subespacio de Kn. De hecho, el vector cero, 0, no pertenece a dicho conjunto solución.

4.4 BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL, CAMBIO DE BASE.

BASES Y DIMENSIÓN

DIMENSION

Base Un conjunto finito de vectores v1, v2, . . ., vn es una base para un espacio vectorial V si

i. v1, v2, . . ., vn es linealmente independiente

ii. v1, v2, . . ., vn genera V.

Todo conjunto de n vectores linealmente independiente Rn es una base en Rn En Rn se define

Base canónica.- Entonces, como los vectores e1 son las columnas de una matriz identidad e1, e2, . . ., en es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn.

DEFINICION

Dimensión.- Si el espacio vectorial V tienen una base finita, entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se llama espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se llama espacio de dimensión infinita. Si V = 0 , entonces se dice que V tiene dimensión cero.

EJEMPLOS

La dimensión de Rn Como n vectores linealmente independientes en Rn constituye una base, se ve que

Dim Rn = n

Cambio de base

Sea x un vector que en base B1 (de vectores unitarios u1, u2, ...) será igual a m1u1+ m2u2 + m3u3 + ... El mismo vector, utilizando otra base B2 (de vectores unitarios v1, v2, ...) será n1v1+ n2v2 + n3v3 + ...

Supongamos que u1, u2, ... se representan en la base B2 de esta forma:

u1 = a11v1 + a21v2 + ... + an1vn

u2

...