DISEÑO FACTORIAL DE TRES FACTORES.

4.4 DISEÑO FACTORIAL DE TRES FACTORES.

Considérese, el modelo de análisis de variancia de tres factores:

(4-26)

La tabla de análisis de variancia aparece en la Tabla 4-15, suponiendo que A, B y C son fijos. Las pruebas F para probar los efectos principales y las interacciones se deducen inmediatamente a partir de los valores esperados de las medias de cuadrados.

Tabla 4-15 Tabla de análisis de variancia para el modelo trifactorial de efectos fijos.

Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de libertad Media de cuadrados Valor esperado de la media de cuadrados F0

A SSA a – 1 MSA

B SSB b – 1 MSB

C SSC c – 1 MSC

AB SSAB (a – 1)(b – 1) MSAB

AC SSAC (a – 1)(c – 1) MSAC

BC SSBC (b – 1)(c – 1) MSBC

ABC SSABC (a – 1)(b – 1)(c – 1) MSABC

Error SSE abc(n – 1) MSE σ2

Total SST abcn – 1

A continuación, se presentan las fórmulas para calcular las sumas de cuadrados de la Tabla 4-15. La suma total de cuadrados se determina en la forma usual:

(4-27)

Las suma de cuadrados de los efectos principales se calculan usando los totales para los factores A(yi…), B(y.j..) y C(y..k.) y como se muestran a continuación:

(4-28)

(4-29)

(4-30)

Para calcular las sumas de cuadrados de las interacciones de dos se requieren los totales de las celdas A x B, A x C y B x C. Con frecuencia, resulta útil desglosar la tabla de los datos originales en tres tablas de dos sentidos, con el fin de calcular estas cantidades. Las sumas de cuadrados se encuentran mediante:

(4-31)

(4-32)

Y:

(4-33)

Nótese que cada una de las sumas de cuadrados de los subtotales de dos factores se determina usando los totales de cada una de las tablas de dos sentidos. La suma de cuadrados de la interacción de los tres factores se determina usando los totales de las celdas en tres sentidos {yijk.} y aplicando la ecuación:

(4-34a)

(4-34b)

La suma de cuadrados del error se calcula restando la suma de cuadrados de cada efecto principal e interacción a la suma total de cuadrados, o mediante:

(4-35)

Ejemplo 4-3 Problema de embotellamiento de gaseosa

Un embotellador de bebida gaseosa desea obtener mayor uniformidad en la altura de llenado de las botellas que salen de su proceso de manufactura. En teoría, la máquina llenadora introduce líquido en cada botella hasta la altura objetivo correcta, pero en la práctica existe variación alrededor de este objetivo, y el fabricante quisiera comprender mejor las fuentes de esta variabilidad para poder reducirla. El ingeniero de proceso puede controlar tres variables durante el proceso de llenado: porcentaje de carbonatación (A), presión de trabajo en la llenadora (B) y número de botellas que se llenan por minuto, o velocidad de la línea (C). Presión y velocidad son fáciles de controlar, pero el porcentaje de carbonatación (CO2 gaseoso) es más difícil de regular durante la manufactura real debido a que varía con la temperatura del producto. Sin embargo, para los fines de un experimento, el ingeniero puede controlar la carbonatación a tres niveles: 10, 12 y 14%. Elige dos niveles para la presión (25 y 30 lb/plg2, o psi) y dos para la velocidad de la línea (200 y 250 botellas por minuto, bpm). Decide hacer dos réplicas de un diseño factorial con estos tres factores, y las 24 corridas se hacen al azar. La variable de respuesta observada es la desviación promedio respecto a la altura de llenado objetivo que se observa en una corrida de producción de botellas en cada conjunto de condiciones. En la Tabla 4-16 se presentan los datos que resultan de este experimento. Las desviaciones positivas alturas de llenado que exceden el objetivo, mientras que las desviaciones negativas son alturas que no alcanzan este objetivo. Los números entre paréntesis y negrita en la Tabla 4- 16 son los totales de celda tridireccionales yijk.

Tabla 4-16 Datos codificados para el Ejemplo 4-3

Presión de operación (B)

25 psi 30 psi

Porcentaje de carbonatación (A) Rapidez de la línea (C) Rapidez de la línea (C)

200 250 200 250 yi…

10 -3 (-4) -1 (-1) -1 (-1) 1 (2) -4

-1 0 0 1

12 0 (1) 2 (3) 2 (5) 6 (11) 20

1 1 3 5

14 5 (9) 7 (13) 7 (16) 10 (21) 59

4 6 9 11

Totales B x C 6 15 20 34 75 = y….

y.jk.

y.j.. 21 54

Totales A x B

yij..

B

A 25 30

10 -5 1

12 4 16

14 22 37

Totales A x C

yi.k.

C

...