Definición de matrices

Dedicatoria:

A mis padres y hermanas por haberme apoyado en todo momento, por sus sabios consejos, sus valores, por la motivación constante que me ha permitido ser una persona de bien, pero más que nada por su amor y confianza.

AGRADECIMIENTO:

Son muchas las personas especiales a las que me gustaría agradecer, por su amistad, apoyo, animo y compañía en las diferentes etapas de mi vida. Algunas están aquí conmigo y otras en mis recuerdos y en el corazón. Sin importar en donde este o si alguna vez llegan a leer estas dedicatorias quiero darles las gracias por formar parte de mi vida, por todo lo que me han brindado y por todo su cariño.

ESQUEMA

MATRICES

CAPITULO 1

1. GENERALIDADES

1.1. Definición de matrices

1.2. Notación de matrices

1.3. Elementos de una matriz

1.4. Orden o tamaño de una matriz

1.5. Igualdad de matriz

1.6. Clases de matrices

CAPITULO 2

2. OPERACIONES CON MATRICES

2.1. Suma de matrices

2.2. Inverso auditivo de una matriz

2.3. Propiedades de la suma de matrices

2.4. Producto de matrices

2.5. Propiedades del producto de matrices

2.6. Ejercicios

CAPITULO 3

3. DETERMINANTES

3.1. Concepto

3.2. Determinantes de una matriz cuadrada

3.3. Desarrollo de determinantes

3.4. Propiedades

3.5. Resolución de ecuaciones

3.6. Métodos de eliminación

CAPITULO 1

1. GENERALIDADES

1.1. Definición de matrices

Se llama MATRIZ a todo cuadro de números distribuidos en filas y columnas. Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ð n.

Ejemplo:

Donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

1.2. Notación de matrices

Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la matriz (aij) tiene dos subíndices. El primero i indica la fila a la que pertenece y el segundo j la columna.

Esta es una matriz de m filas y n columnas, es decir, de dimensión m x n. Esta matriz también se puede representar de la forma siguiente: A = (aij) m x n.

Si el número de filas y de columnas es igual ( m = n ), entonces se dice que la matriz es de orden n.

1.3. Elementos de una matriz

Se considera a cada una de las letras o cantidades que están ubicadas, representando a cada fila y a cada columna.

Ejemplo

3 5 4

Z= -2 1 -3 3 x 3

-5 -4 2

Fila

Indica las cantidades que se encuentran ubicadas horizontalmente.

Los elementos que conforman la primera fila son: 3 -5 -4

Los elementos que conforman la segunda fila son: -2 1 -3

Los elementos que conforman la tercera fila son: -5 -4 2

Columna

Indica las cantides que se encuentran ubicadas verticalmente.

Los elementos que constituyen la primera columna son: 3 -2 -5

Los elementos que constituyen la segunda columna son: 5 1 -4

Los elementos que constituyen la segunda fila son: 4 -3 2

Esto indica en el primer ejemplo

También podemos simbolizar a cualquier elemento de una matriz con la expresión (i, j)

A = A11 A12

A21 A22

A1j.- indica la posición o ubicación del elemento.

I.- indica la fila en que se encuentra ubicado dicho elemento.

j.- indica la columna en que se encuentra ubicado dicho elemento.

1.4. Orden o tamaño de una matriz

Las matrices varían en tamaño u orden. El tamaño u orden de una matriz se describe especificando el número de filas o renglones (líneas horizontales) y columnas (líneas verticales) que aparecen en la matriz. Por lo tanto, una matriz de orden “m x n” tiene “m” filas y “n” columnas (primero se indican las filas y después las columnas).

Si “A” es una matriz de orden “m x n” entonces se denotará “aij” para indicar el elemento que está en la i-ésima fila y j-ésima columna.

Ejemplo:

5 4 3

A

-2 1 3 2x3

Se llama matriz de orden "m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y números naturales.

Ejemplo:

-1 5 2 primera fila

A3x3= 4 3 6 segunda fila

7 -2 0 tercera fila

Primera columna

Segunda columna

Tercera columna

Donde:

a11=-1 ; a12=5 ; a13=2

a21=4 ; a22=3 ; a23=6

a31=7 ; a32=-2 ; a33=0

1.5. Igualdad de matrices

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en ambas son iguales

Para que las matrices A y B sean iguales, se tiene que cumplir que a = 7 y b = 5.

1.6. Clases de matrices

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo sudimensión mxn.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α •A)t = α• At

(A • B)t = Bt • At

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

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