Determine, matemáticamente, la serie de Fourier de la señal

Desarrolle:

5) Determine, matemáticamente, la serie de Fourier de la señal: (Describa de forma

clara y completa el procedimiento)

Una señal se define como una cantidad física que varía con el tiempo, el espacio o cualquier otra variable o variables independientes. Matemáticamente, describimos una señal como una función de una o más variables independientes. Por ejemplo, las funciones

(1) s1(t) = 5t

(2) s2(t) = 20t2

describen dos señales, una que varía linealmente con la variable independiente t (tiempo) y una segunda que varía cuadráticamente con t. Las señales descritas en (1) y (2) pertenecen a las clases de señales que quedan perfectamente definidas especificando la dependencia funcional con la variable independiente. Sin embargo, existen casos en los que dicha relación funcional es desconocida o demasiado complicada como para tener utilidad práctica. Por ejemplo, una señal de voz no se puede describir funcionalmente mediante expresiones como (1). En general, un segmento de voz puede representarse con un altogrado de exactitud como la suma de varias sinusoides de diferentes amplitudes y frecuencias, esto es, como

(3) å=

N

i 1

Ai(t) sen[2p Fi(t)t + qi(t)]

donde {Ai(t)}, {Fi(t)} y {qi(t)} son los conjuntos (probablemente variables en el tiempo) de amplitudes, frecuencias y fases, respectivamente de las sinusoides. De hecho, una manera de interpretar la información o el mensaje contenido en un segmento corto de una señal de voz es medir las amplitudes, frecuencias y fases contenidas en el segmento corto de señal. Otros ejemplos de señales naturales son los electrocardiogramas y los electroencefalogramas. Las señales de voz, los electrocardiogramas y los electroencefalogramas son ejemplos de señales que portan información y que varían como funciones de una única variable independiente, el tiempo. Una imagen constituye un ejemplo de señal que varía en dos variables independientes. Las dos variables independientes en este caso son las coordenadas espaciales. Estos son unos pocos ejemplos de un incontable número de señales naturales que se pueden encontrar en la práctica.

Series de Fourier para señales periódicas en tiempo continuo

Ejemplos de señales periódicas encontradas en la práctica son las ondas cuadradas, rectangulares, triangulares y, por supuesto, las sinusoides y exponenciales complejas. La representación matemática básica de las señales periódicas es la serie de Fourier, que es una suma ponderada de sinusoides relacionadas armónicamente.

Una función periódica f(t) cumple que para todo valor de t:

f(t) = f(t + T).

Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante T que cumple lo anterior se le llama el periodo fundamental (o simplemente periodo) de la función.

Observa que:

f(t) = f(t + nT), donde n = 0, 1,  2, 3,...

Cuestión: ¿Es f(t) = cte. una función periódica?

Ejemplo: ¿Cuál es el periodo de la función

Si f(t) es periódica se debe cumplir:

Como cos(t + 2kp) = cos(t) para cualquier entero k, entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere que: T/3 = 2k1p y T/4 = 2k2p.

Es decir: T = 6k1p = 8k2p

con k1 y k2 enteros.

El valor mínimo de T se obtiene con k1= 4, k2= 3, es decir, T = 24p.

Es la suma de dos funciones periódicas una función periódica? Depende. Consideremos la función:

f(t) = cos(w1t) + cos(w2t).

Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que: w1T = 2p m y w2T = 2p n.

Es decir, que cumplan:m

T = m/ (2p w1) = n/ (2p w2) (w1 )/w2 m/n

Si f1(t) tiene periodo T1 y f2(t) tiene periodo T2, ¿es posible que f1(t) + f2(t) tenga periodo T < min(T1,T2)?

T1=5

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