Distribucion De Variables

3. Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias.

3.1 Variables aleatorias continuas

A diferencia de las variables aleatorias discretas, las variables aleatorias continuas son aquellas que pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo determinado. Debido a que existe una cantidad infinita de posibles valores fraccionarios que se obtengan como resultado de alguna medición, no se pueden listar todos los posibles valores con sus probabilidades correspondientes. En lugar de esto, se define una función de densidad de probabilidad. Esta expresión matemática da la función de X, que se representa por el símbolo f(X), que corresponde a cualquier valor que se desee de la variable aleatoria X. A la gráfica de una de estas funciones se le llama curva de probabilidad, y el área entre dos puntos cualesquiera y bajo la curva, indica la probabilidad de ocurrencia aleatoria de cualquiera de los valores entre estos dos puntos.

Ejemplo. En la función de probabilidad continua que se presenta en la siguiente figura, la probabilidad de que el peso neto de flete, tomado al azar, esté entre 6000 y 8000 lb es igual a la proporción sombreada del área bajo la curva. Es decir, toda el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad se define como 1, y la proporción del área entre dos puntos determinados se puede hallar aplicando en método de integración (del cálculo) junto con la función matemática de densidad de probabilidad correspondiente a esa curva de probabilidad.

Hay varias distribuciones de probabilidad continua estándar que se pueden emplear como modelo para una amplia gama de variables continuas de acuerdo con las circunstancias de que se trate. Para estas distribuciones estándar se han elaborado tablas de probabilidad que hacen innecesario el uso de la integración para determinar las áreas bajo la curva de probabilidad de estas distribuciones.

3.2 Distribución de probabilidad normal

Las distribuciones de probabilidad continuas asumen diversas formas. Sin embargo, un gran número de variables aleatorias observadas en la naturaleza corresponden a una distribución de frecuencias que se aproxima a la forma de una campana o, a una distribución de probabilidad normal. La fórmula que genera esta distribución se muestra a continuación.

Los símbolos e y π son constantes matemáticas cuyo valores aproximados son 2.7183 y 3.1416, respectivamente; µ y σ (σ > 0) son parámetros que representan la media y la desviación estándar de la población.

La gráfica de una distribución de probabilidad normal con media µ y desviación estándar σ se muestra en la figura 3.1.

La media µ localiza el centro de la distribución y la distribución es simétrica con respecto a la media µ. Puesto que el área total bajo la distribución de probabilidad normal es igual a 1, la simetría implica que el área a la derecha de µ es 0.5 y el área a la izquierda de µ también es 0.5. La forma de la distribución se determina por σ, la desviación estándar de la población, como se muestra en la figura 3.2.

Se observa que los valores grandes de σ reduce la altura de la curva (curva A) e incrementa su amplitud; los valores pequeños de σ aumentan la altura de la curva y reducen la amplitud (curva B). En la figura 3.2 se muestran tres distribuciones de probabilidad normales con media y desviación estándar diferentes. Observe las diferencias en la forma y la ubicación.

Áreas tabuladas de la distribución de probabilidad normal

Para encontrar la probabilidad de que una variable aleatoria normal x se encuentre en el intervalo de a a b, se necesita hallar el área bajo la curva normal entre los puntos a y b, como se muestra en la figura 3.3. Sin embargo, hay un número infinitamente grande de distribuciones normales, una para cada diferente par de media y desviación estándar (ver figura 3.2). Es obvio que resulta impráctico tener una tabla separada de área para cada una de estas curvas. En cambio, se usa una estandarización que nos permite usar la misma tabla para todas las distribuciones normales.

La variable aleatoria normal estándar

Una variable aleatoria normal x se estandariza al expresar su valor como el número de desviaciones estándar (σ) a la izquierda o derecha de su media µ. Esto es en realidad sólo un cambio en las unidades de medida que se emplean, como si se fuera a medir en centímetros en vez de metros. La variable de la normal aleatoria estandarizada, z, se define como:

O la forma equivalente: x = µ + z σ

De la fórmula para z se obtiene estas conclusiones:

• Cuando x es menor que la media µ, el valor de z es negativo.

• Cuando x es mayor que la media µ, el valor de z es positivo.

• Cuando x = µ, el valor de z es cero.

La distribución de probabilidad para z, mostrada en la figura 3.4, se llama distribución normal estandarizada porque su media es 0 y su desviación estándar es 1. El área bajo la curva normal estándar a la izquierda de un valor especificado de z por ejemplo, z0, es la probabilidad P(z ≤ z0). Esta área acumulada se puede obtener por medio de tablas y se muestra como el área sombreada de la figura 3.4.

Problema1. Encuentre P(z ≤ 1.63). Esta probabilidad corresponde

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