DISTRIBUCIONES DE VARIABLE CONTINUA

ASIGNATURA                : ESTADISTICA APLICADA I

PROFESORES                : ILMER CONDOR

PERIODO ACADEMICO        : 2005 – I

GUIA DE CLASE DE Nº 5

DISTRIBUCIONES DE VARIABLE CONTINUA

Así como en el caso de las variables discretas se dispone de algunas distribuciones conocidas, así también en el caso de variables continuas se tienen algunas distribuciones conocidas como la Uniforme, Exponencial y la Normal.

Del mismo modo, podemos mencionar otras ampliamente conocidas en la Estadística Inferencial como la distribución Chi – Cuadrado, t de Student y F de Fisher.

DISTRIBUCIÓN UNIFORME

Definición

Sea X una variable aleatoria continua. Diremos que X tiene una distribución Uniforme sobre el intervalo (a, b), si su función de densidad de probabilidad viene dada por

                [pic 2];  (a>b)

Observaciones

1. Si X tiene distribución Uniforme entonces podemos denotarla por X →U(a, b)[pic 3]
2. La gráfica de una variable con distribución uniforme se muestra en la siguiente figura

1. La distribución acumulada de una variable uniforme se define como

[pic 4]

Teorema

Si X es una vriable con distribución uniforme entonces

        μX = E(X) = [pic 5]                y [pic 6]

En los últimos problemas se le pide al alumno obtener analíticamente la media y la varianza

Ejemplo 1

Sea X una variable aleatoria que se distribuye uniformemente sobre el intervalo (10, 20). Diga si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones:

1. El espacio rango de X es (0, +∝ )
2. El valor esperado de X es 15
3. La desviación estándar de X es 15
4. El valor esperado de X² es mayor que 15
5. El 80% de los valores de X son superiores a 18

Solución

Si X → U(......, ......) entonces su función de densidad es f(x) = .................................

El espacio rango es ...................... Por tanto a) es ........................

Como X → U(10,20) y E(X) = (a+b)/2  = ................. entonces b) es ...............

Como V(X) = (b-a)²/12 = ...........  de donde  σ =  ..............   entonces c) es ................

Sabemos que V(X) = E(X²) – (E(X))².

Reemplazando V(X) y E(X) y despejando E(X²) = ..................  Luego d) es ...............

Lo que se afirma en e), significa que se debe calcular: P(X > 18)

Después de calcular se encuentra que P(X>8)= [pic 7]............... Luego e) es ....................

Ejemplo 2

Sea X una variable aleatoria continua con distribución uniforme sobre el intervalo (-2, 2). Calcular:

a) P(X < 3/2 )                 P(-1 < X ≤ 1)

b) P( | X | > 3/2 )                P( | X - μ | ≤ 1)

c) P(μ - 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ )

Solución

En este caso X → U(……, ……) y f(x) = ……………………….

1. P(X < 3/2) = .................

P(-1 < X < 1 ) = [pic 8]...................

1. P(|X|>3/2) = P(-1.5 < X < 1.5 ) = .........................

P( | X - μ | ≤ 1) = P(-1 ≤ X - μ  ≤ 1 ) = P(μ -1 ≤ X ≤ 1 + μ ) = .......................

1. Calcule primero: μ  = …………;         σ =  ..............

Ahora P(μ - 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ ) = P( ……. ≤ X ≤ ......... ) =

Ejercicio 1

Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en (-a, a) , donde a > 0. Cada vez que sea posible, determinar a, de manera que se cumpla lo siguiente:

1. P( | X | > 1 ) = P( | X | < 1 )
2. P( X > 1 ) = [pic 9]
3. P(X < [pic 10]) = 0.7

Ejemplo 3

Se cree que el tiempo X (en minutos) para que un asistente de cátedra en una cierta universidad prepare una práctica dirigida para el curso de Estadística, tiene una distribución Uniforme. En promedio se demora una hora, y como mínimo emplea 55 minutos para la preparación de la práctica.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de preparación exceda 58 minutos?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de preparación se encuentre dentro de 2 minutos del tiempo máximo?
3. Para cualquier K, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo de preparación esté entre K y K+2 minutos? Se supone que K y K+2 están dentro del rango de X
4. Determine el tiempo máximo de preparación, tal que sólo el 5% de las prácticas excedan este tiempo máximo.

Solución

Sea X: La variable aleatoria definida como: ...............................................................................

X → ..................

a) Qué probabilidad se pide? ...........................  Puede calcularla? ...........................................

b) En este caso qué probabilidad se pide? .............................  Su valor? ..................................

c) Calcularemos P( ........ ≤ X ≤ .........) = .................................................................................

d) Debemos hallar M que es el tiempo máximo de preparación tal que P(..............) = ............

        P(X ≤ M ) = .......................        Igualando a 0.05 hallaremos M. Luego M = ..................

Ejemplo 4

Ventura es un eficiente y preocupado gerente de operaciones de una aerolínea local. Sus investigaciones sobre el servicio de vuelos en la ruta Lima - Miami – Lima indican que se ha incrementado considerablemente debido a una fuerte promoción al turismo. Puesto que este servicio depende de la ruta Lima – Cuzco, que también la cubre, el incremento observado puede verse afectado si el tiempo de vuelo entre Lima  y Cuzco se incrementa. Él sabe que el tiempo de vuelo en esta ruta sigue una distribución uniforme con un promedio de 1.5 horas. Sabe además que la diferencia entre el mayor y menor tiempo que puede tardar un vuelo en esta ruta, es de 20 minutos. En la idea de mejorar sus servicios

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