ECUACIONES DE PRIMER GRADO “ FUNDAMENTACION ”

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

“ FUNDAMENTACION ”

NOCIONES BÁSICAS Y EJERCICIOS DE PRÁCTICA

Metodología para resolver  una ecuación de primer grado

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

“ FUNDAMENTACION ”

 Igualdad algebraica: Se le llama así a dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual “=“.

a = b

3x + 15 = 4x + 13

2a + a = 3a

 Las igualdades algebraicas se clasifican en identidades y ecuaciones.

 IDENTIDAD.

 Es una igualdad que se cumple para cualquier valor numérico que se dé a las letras que haya en la igualdad.

(a + b)2= a2 + 2ab + b2

* cualquier valor que se d a las variables dará siempre una igualdad

       si:    a= 3 ;   b= 5                                                         si :       a= 2 ; b= 7               

(3 + 5)2 = (3)2 + 2(3)(5) + (5)2                               (2 + 7)2 = (2)2 +2(2)(7) + (7)2

     (8)2 = 9 + 30 + 25                                                   (9)2 = 4 + 28 + 49

       64 = 64  *se cumple la igualdad                              81 = 81   *se cumple la igualdad

     Otro ejemplo:

   3a + 5a = 2a + 6a

 Sustituimos  la variable por cualquier valor y se mantiene la igualdad.

         si:  a = 2                                    si :  a= 12                                si :       a = -4

3(2) + 5(2) = 2(2) +6(2)            3(12) +5(12) = 2(12) +6(12)         3(-4) + 5(-4) = 2(-4) + 6(-4)

        6 + 10 = 4 + 12                         36 + 60 = 24 + 72                        -12 - 20 =  -8 - 24

              16 = 16                                       96 = 96                                       -32 = -32

 Se puede comprobar que se cumple la igualdad para cualquier valor que se dé a las letras.

ECUACIÓN

 Es una igualdad algebraica en la que hay una o varias cantidades desconocidas, llamadas incógnitas que únicamente se cumple para determinados valores de las incógnitas.

Ejemplo:

2y + 5 = 11                         2(3) + 5 = 11

                                                  6 + 5 = 11

 El único valor que hace verdadera la igualdad es cuando  y = 3   y para ningún otro valor se verifica.

7x - 9 = 19                                7(4) - 9 = 19

                                                      28 - 9  = 19

  El único valor que cumple para que se mantenga la igualdad es que  x = 4

Se les llama incógnitas a las letras  que aparecen en una ecuación y representan  los valores desconocidos. Puede utilizarse cualquier letra del alfabeto para representarla.

 En :  2y + 5 = 11 ; La incógnita es “ y”

 En:   7x - 9 = 19  ; La incógnita es  “x”

 En :  2a + 8 = -7 + 5a  ;  La incógnita es “a”

• En una ecuación a la expresión que se encuentra a la izquierda del signo igual, se le llama primer miembro

• A la expresión que se encuentra después del signo igual, se le llama segundo miembro.

   2y + 5 = 11             Primer miembro: 2y + 5     ;   Segundo miembro: 11

   2a + 8 = -7 + 5a      Primer miembro: 2a + 8     ;   Segundo miembro: -7 + 5a

Los diferentes valores que forman cada uno de los miembros , reciben el nombre de términos y se encuentran separados por el signo más “+” o por  el signo menos “-”. 

En una ecuación hay dos clases de términos:

a) Términos con incógnita: Son los términos que llevan a la literal que está considerada como incógnita.

b) Términos independientes: Son los términos que no llevan la incógnita

2a + 8 = -7 + 5a       Términos con incógnita:  2a , 5          Términos independientes: 8 , -7

x2 + 3x = -2              Términos con incógnita:  x2, 3x         Términos independientes: -2

3y - 2 = y + 6             Términos con incógnita:  3y , y          Términos independientes: -2 , 6

CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES

   Las ecuaciones se clasifican en:

a)  Ecuaciones numéricas: Son aquellas en cuyos términos no existen más literales que las correspondientes a la incógnita.

 Son ecuaciones numéricas:

     5x - 3 = 8x + 33     * La única literal en la ecuación es “x”

      x + 8 = 12             * La única literal en la ecuación es  “x” 

    2a + 5 = 11             * La única literal es  “a”   

    40y - 8 = 24y - 56   * La única literal en la ecuación es  “y”     

b)  Ecuaciones literales: Son aquellas en las que además de la letra que representa a la incógnita, hay otras letras que representan valores conocidos. En las ecuaciones literales la incógnita se suele indicar por: x , y  o  z.

 Son ecuaciones literales:

ax + b = c            *Además de la incógnita “x”  aparecen las literales  a,b,c

2y + 5a = 7 + a    *Además de la incógnita “y” aparece la letra a

4m + 5z = 12       *Además de la incógnita “z” aparece la letra m

Grado de una ecuación . Este queda determinado por el mayor exponente con el que aparezca la incógnita en la ecuación.

3x2  + 5x = 28      * Ecuación de 2do. grado, porque el mayor exponente de la incógnita “x” es 2

2x + 7 = 4x - 1     * Ecuación de 1er. grado, porque el mayor exponente de “x” es 1

a3 + 3a2 = -3a - 1  * Ecuación de 3er. grado, porque el mayor exponente de la incógnita  “a” es 3

Los valores de las incógnitas que satisfacen  a una ecuación, es decir, que verifican la igualdad , se llaman raíces  de la ecuación.

5z = 20          * La raíz es  4,  porque  si : z = 4   entonces,  la ecuación se transforma en identidad

7(x - 6) = 6(x - 2) - 28   * La raíz es  “2” , porque es el valor que convierte a la ecuación en igualdad

Ecuaciones equivalentes. Son aquellas que tienen la misma raíz.

    2a + 9 = 15

    6a + a = 21

      a + 7 = 10    *Son ecuaciones equivalentes porque la raíz para todas ellas es: a = 3

CARACTER O PROPIEDAD DE LAS IGUALDADES

                (Aplicado a las ecuaciones)

Toda igualdad cumple con las siguientes propiedades.

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