EJERCICIOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

EJERCICIOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Suponga que un conductor de automóvil que maneja con exceso de velocidad, puede ser detectado por un sistema de radar. Se dice que de cada diez con exceso de velocidad, seis son detectados Un automovilista va con exceso de velocidad, en viaje entre Bogotá y Tunja. Durante el trayecto hay ocho estaciones de vigilancia por radar.

¿Qué probabilidad hay de que este automovilista, por lo menos cinco veces, sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?

10 con exceso de velocidad, 6 son detectados

6/10 = 0.6 Son detectados

4/10 = 0.4 No son detectados

Probabilidad: por lo menos 5 veces

P(X ≥ 5) = P(X= 5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)

P(X=5) = 8C5 * (〖0.6)〗^5 * (〖0.4)〗^3 =

P(X=5) = 56 * 0.07776 * 0.064 =

P(X=5) = 0.2787

P(X= 6) = 8C6 * (〖0.6)〗^6 * (〖0.4)〗^2

P(X= 6) = 28 * 0.0466 * 0.16

P(X= 6) = 0.2090

P(X= 7) = 8C7 * (〖0.6)〗^7 * (〖0.4)〗^1

P(X= 7) = 8 * 0.0279 * 0.4

P(X= 7) = 0.0.896

P(X= 8) = 8C8 * (〖0.6)〗^8 * (〖0.4)〗^0

P(X= 8) = 1 * 0.01680 * 1

P(X= 8) = 0.01680

P(X ≥ 5) = 0.2787 + 0.2090 + 0.0896 + 0.0168

P(X ≥ 5) = 0.5941 * 100

P(X ≥ 5) = 59.41%

Respuesta

La probabilidad de que por lo menos 5 veces sea detectado es de 59.41 %

¿Cuántas veces se espera que sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?

En 4 de 8 ocasiones puede ser detectado con exceso de velocidad. Por tanto:

P(X= 4) = 8C4 * (〖0.6)〗^4 * (〖0.4)〗^4 =

P(X= 4) = 70 * 0.1296 * 0.0256 =

P(X= 4) = 0.2322 *100

P(X= 4) = 23.22%

Respuesta

Hay la probabilidad de un 23.22 % de posibilidades de ser detectado

¿Cuál es la probabilidad de que no sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?

P = 1 - P(X=3)

P(X= 3) = 8C3 * (〖0.6)〗^3 * (〖0.4)〗^5 =

P(X= 4) = 56 * 0.216 * 0.0102 =

P(X= 4) = 0.1239 *100

P(X= 4) = 12.39%

P = 1 - P(X=3)

P = 1 – 0.1239

P = 0.8761

Respuesta

La probabilidad de que no se detectado es de 0.8761

Un ejecutivo bancario recibe 10 solicitudes de crédito. Los perfiles de los solicitantes son similares, salvo que 4 pertenecen a grupos minoritarios y 6 no. Al final el ejecutivo autoriza 6 de las solicitudes. Si estas autorizaciones se eligen aleatoriamente del grupo de 10 solicitudes

10 solicitudes, 6 son aceptadas

6/10 = 0.6 aceptadas

4/10 = 0.4 rechazadas

¿Cuál es la probabilidad de que menos de la mitad de las autorizaciones sean de solicitudes de personas que pertenecen a grupos minoritarios?

P(X < 3) = (p(=2)+ p(=1)+ p(0))/10C6

P(X = 2) = 4C2 * 6C4 =

P(X = 2) = 15 * 6 = 90

P(X = 1) = 4C1 * 6C5 =

P(X = 1) = 4 * 6 = 24

P(X = 0) = 4C0 * 6C6 =

P(X = 0) = 1 * 1 = 1

P(X < 3) = (90 + 24 + 1)/10C6

P(X < 3) = (90 + 24 + 1)/210

P(X < 3) = 0.5476

La probabilidad es de 0.5476 de que menos de la mitad de las autorizaciones sean de solicitudes de personas que pertenecen a grupos minoritarios

¿Cuántas solicitudes se espera que sean autorizadas para grupos minoritarios?

Número de solicitudes esperadas = x

E = ∑(X_0*4C0*6C6)/10C6+ (X_1*4C1*6C5)/10C6 + (X_2*4C2*6C4)/10C6 + (X_3*4C3*6C3)/10C6 + (X_4*4C4*6C2)/10C6

E = ∑(0*1)/210+ (1*24)/210+ (2*90)/210+ (3*80)/210+ (4*15)/210

E = ∑0/210+ 24/210+ 180/210+ 240/210+ 60/210

E = (0+24+180+240+60)/210

E = 504/210

E = 2.40

La esperanza es que sean autorizadas 2.40 solicitudes para grupos minoritarias

Los clientes llegan a una exhibición a razón de 6,8 clientes/hora. Calcule la probabilidad que:

En la primera media hora por lo menos lleguen dos clientes.

X = clientes que llegan a la exhibición

λ =6,8 (clientes )/Hora

λ= E(x)= (6.8 )/2

λ= 3.4

λ = 3.4 x = 2 {0,1} e = 2.7128

P(x ≥ 2) =1 P(x=0 ≤ 1) =1 - [p(x=0) + p(x=1)]

P(x=0)= 3.40 *e-3.4 =

P(x=0)= 1 *e-3.4 =

P(x=0)= 0.033

P(x=1)= 3.41 *e-3.4 =

P(x=1)= 3.4 *e-3.4 =

P(x=1)= 3.4 * 0.033

P(x=1)= 0.112

E = 1- (p(x=0) + p(x=1))=

E = 1- (0.033 + 0.112)=

E = 1- (0.145) =

E = 0.855

E = 85.5%

Hay una probabilidad de 85.5% de que en la primera media hora lleguen dos clientes

En el primer cuarto de hora no llegue ningún cliente

λ =6,8 (clientes )/Hora

λ= E(x)= (6.8 )/4

λ= 1.7

λ = 1.7, x= 0, e= 2.7128, P (x≥0)=1

P(x, λ)= λx * e-x

P (0,1.7) = 1.70 *e-1.7 =

P (0,1.7) = 1 * 0.18 =

P (0,1.7) = 0.18 = 0.18*100 = 18%

Respuesta

La probabilidad de que en el primer cuarto de hora no llegue ningún cliente es de 18.2%

En cualquier hora dada llegue más de un cliente

Promedio (x=0>2)= -1P(x=0<1)=1-[p(x=0)+p(x=1)]

λ = 6.8 x = número de clientes e= 2.7128

P(x, λ)= λx * e-x

P (1 ,6.8) = 6.81 *e-6.8 =

P (0,6.8) = 6.8 * 1.113 =

P (0,1.7) = 7.56%

Respuesta

Hay una probabilidad del 7.56 % de que en cualquier hora llegue más de un cliente

El número de demandas presentadas a una compañía de seguros, en promedio es de cuatro por día, cuál es la probabilidad que:

En un día cualquiera no se presente ninguna demanda.

P = (x= 0) demandas en un día cualquiera

Promedio de demandas por día = 4

λ = 4, x= 0, e= 2.7128, P (x≥0)=1

P(x, λ)= λx * e^(-λ)

P (0,4) = 40 *e^(-4) =

P (0,1.7) = 1 * 0.18 =

P (0,1.7) = 0.18 = 0.18*100 = 18%

Respuesta

La probabilidad de que en un día cualquiera no se presente ninguna demanda es de 18%

Por lo menos se presenten tres demandas en dos días.

λ = (8 )/3

λ= E(x)= (8 )/3

λ= 2.7

λ = 2.7 x = 3 {0,1,2} e = 2.7128

P(x ≤ 3) =1 P(x=0 ≤ 3) =1 - [p(x=0) + p(x=1)+ p(x= 2)]

P(x=0)= 2.70 *e-2.7 =

P(x=0)= 1 *e-2.7 =

P(x=0)= 1 * 0.0672

P(x=0)= 0.0672

P(x=1)= 2.71 *e-2.7 =

P(x=1)= 2.7 *e-2.7 =

P(x=1)= 2.7 * 0.0672

P(x=1)= 0.1814

P(x=2)= 2.72 *e-2.7 =

P(x=2)= 7.29 *e-2.7 =

P(x=2)= 7.29 * 0.0672

P(x=2)= 0.4899

E = 1- (p(x=0) + p(x=1)+ p(x=2))=

E = 1- (0.0672 + 0.1814+0.4899)=

E = 1- (0.7385) =

E = 0.2615

E = 26.15%

Respuesta

La probabilidad de que por lo menos se presenten tres demandas en dos días es del 26.15%

Se supone que el número de accidentes por semana que ocurren en una fabrica sigue una distribución de Poisson con parámetro λ = 2. Se pide:

Probabilidad de que en una semana cualquiera ocurra un solo accidente.

P(x=1)= e-2 * 2/1! =

P(x=1)= 0.1353* 2 =

P(x=1)= 0.2707 = 0.2707*100 = 27.07%

Respuesta

Hay una probabilidad de 27.07% de que en una semana ocurra un accidente

Probabilidad de que, en un grupo de 10 semanas, ocurran 3 accidentes en tres semanas distintas.

P (x=3) = 3/10* p^7 q7

P (x=3) = 3/10* (0.27067)^3* (0.72933)^7

P (x=3) = 0.3 * (0.27067)^3* (0.72933)^7

P (x=3) = 0.000653

P (x=3) = 1- 0.000653 = 0.999 * 100 = 99.9%

Respuesta

La probabilidad es de 99.9%

Probabilidad de que en una semana haya más de 3 accidentes.

P(x=3)= 1- e-2 (1+ 2^1/1!+2^2/2!+ 2^3/3!)

P(x=0)= 0.14288 * 100

P(x=0)= 14.28%

La probabilidad de que en una semana haya más de tres accidentes es de 14.28%

Los estudios muestran que cerca del 80% de las personas utilizan el metro como medio de transporte en Medellín. Si se toma una muestra de 10 personas

Cuál es la probabilidad de que por lo menos 2 utilicen este medio de transporte

Muestra = 10 personas

Montan = 0.8

No montan = 0.2

P(X ≥ 2) = P(X= 2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X= 6) + P(X=7) + P(X=8)

P(X=2) = 8C2 * (〖0.8)〗^2 * (〖0.2)〗^6 = 0.001146

P(X=3) = 8C3 * (〖0.8)〗^3 * (〖0.2)〗^5 = 0.003006

P(X=4) = 8C4 * (〖0.8)〗^4 * (〖0.2)〗^4 = 0.04587

P(X=5) = 8C5 * (〖0.8)〗^5 * (〖0.2)〗^3 = 0.1468

P(X=6) = 8C6 * (〖0.8)〗^6 * (〖0.2)〗^2 = 0.2936

P(X=7) = 8C7 * (〖0.8)〗^7 * (〖0.2)〗^1 = 0.3355

P(X=8) = 8C8 * (〖0.8)〗^8 * (〖0.2)〗^0 = 0.1678

P(X ≥ 2) = 0.001146+ 0.003006 + 0.04587 + 0.1468+ 0.2936+ 0.3355 + 0.1678

P(X ≥ 2) = 0.993

P(X ≥ 2) = 99.3%

Respuesta

La probabilidad es 99.3%

Cuantas se espera que utilicen este medio de transporte

E = ∑(X_0*8C0)/10C8+ (X_1*8C1)/10C8

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