EJERCICIOS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

EJERCICIOS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

1. Suponga que un conductor de automóvil que maneja con exceso de velocidad, puede ser detectado por un sistema de radar. Se dice que de cada diez con exceso de velocidad, seis son detectados Un automovilista va con exceso de velocidad, en viaje entre Bogotá y Tunja. Durante el trayecto hay ocho estaciones de vigilancia por radar.

a. ¿Qué probabilidad hay de que este automovilista, por lo menos cinco veces, sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?

R/. 59.41

P(X>=5) = P(X=5) + P (X=6) + P(X=7) + P(X=8)

P(X=5) = C (8,5) * 0,6^5 * 0,4^ (8-5) = 0.2787

P(X=6) = C (8,6) * 0,6^6 * 0,4^ (8-6) = 0.2090

P(X=7) = C (8,7) * 0,6^7 * 0,4^ (8-7) = 0.0896

P(X=8) = C (8,8) * 0,6^8 * 0,4^ (8-8) = 0.0168

P(X>=5) = 0.2787 + 0.2090 + 0.0896 + 0.0168

P(X>=5) = 0.5941

b. ¿Cuántas veces se espera que sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?

R/. En 4 ocasiones de 8 veces

0.6^4 * 0.4^4 * c (8,4) = 0,2322 = 23,22%

c. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea detectado conduciendo con exceso de velocidad?

R/. En 3 ocasiones

0,6^5 * 0,4^3 * c (8,5) = 0.2786 = 27.86%

2. Un ejecutivo bancario recibe 10 solicitudes de crédito. Los perfiles de los solicitantes son similares, salvo que 4 pertenecen a grupos minoritarios y 6 no. Al final el ejecutivo autoriza 6 de las solicitudes. Si estas autorizaciones se eligen aleatoriamente del grupo de 10 solicitudes

a. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de la mitad de las autorizaciones sean de solicitudes de personas que pertenecen a grupos minoritarios?

R/.Como son 6 solicitudes aprobadas, la mitad es 3.

Entonces menos de la mitad es menos de 3, es decir 0.1 o 2 solicitudes.

I = Nº de maneras de tomar 6 solicitudes de 10 disponibles es C (10,6)

II = Nº de maneras de tomar 0 solicitudes minoritarias y por lo tanto 6 no minoritarias C (4,0)*C (6,6)

III = Nº de maneras de tomar 1 minoritaria y 5 no minoritarias C (4,1)*C (6,5)

IV = Nº de maneras de tomar 2 minoritarias y 4 no minoritarias C (4,2)*C (6,4)

Entonces la probabilidad pedida es:

[C (4,0)*C (6,6) + C (4,1) C (6,5) + C 4,2) * C (6,4)] / C (10,6)

= [1 + 24 + 90] / 210 = 115/210

= 0,5476.

b. ¿Cuantas solicitudes se espera que sean autorizadas para grupos minoritarios?

R/. Nº Esperado = E(X) = esperanza de x

= Sumatoria desde 0 hasta 4 de X*Prob(X)

= 0*1/210 + 1*24/210 + 2*90/210 + 3*80/210 + 4*15/210

= [0 + 24 + 180 + 240 + 60] / 210

= 504 / 210

= 2,40

3. Los clientes llegan a una exhibición a razón de 6,8 clientes/hora. Calcule la probabilidad que:

a. en la primera media hora por lo menos lleguen dos clientes.

R/. Definamos a la variable aleatoria

X= “Cantidad de clientes que llegan a la exhibición en media hora"

P(x = ó > 2) = 1 - P (x = ó < 1) = 1 - [P (x = 0) + P (x = 1)]

P(x) = λ^ x * e^ - λ / x!

P(x = 0) = 3,4^0 * e^-3,4 / 0! = 1 * 0,13533528323661269189399949497256 / 1 = 0,1353

P(x = 1) = 3,4^1 * e^-3,4 / 1! = 3,4 * 0,13533528323661269189399949497256 / 1 = 0,4601

P(x = ó > 2) = 1 - [P (x = 0) + P (x = 1)] = 1 - (0,1353 + 0,4601) = 1 - 0,5954 = 0,4045 = 40,45%

b. en el primer cuarto de hora no llegue ningún cliente.

R/. λ= E(X) = 6.8/4 = 1.7

λ= 1.7

Parámetros

λ= 1.7x = 0 e= 2.7128 p(x ≥ o) = 1

p (x, λ) = λ ^ x*e^- λ

X!

Reemplazar

P (0.17) = 1.7^0*e-1.7 = 1* e -1.7 = e^-1.7 = 0.18

0!

La probabilidad es de 18.2%

c. en cualquier hora dada llegue más de un cliente

R/. Definamos a la variable aleatoria

X = “Cantidad de clientes que llegan a la exhibición en una hora"

P(x = ó > 2) = 1 - P (x = ó < 1) = 1 - [P (x = 0) + P (x = 1)]

P(x) = λ^ x * e^ - λ / x!

P(x = 0) = 6,8^0 * e^-6,8 / 0! = 1 * 0,0011137751478448030787892198392705 / 1 = 0,0011

P(x = 1) = 6,8^1 * e^-6,8 / 1! = 6,8 * 0,0011137751478448030787892198392705 / 1 = 0,0075

P(x = ó > 2) = 1 - [P (x = 0) + P (x = 1)] = 1 - (0,0011 + 0,0075) = 1 - 0,0086 = 0,9913 = 99,13%

4. El número de demandas presentadas a una compañía de seguros, en promedio es de cuatro por día, cuál es la probabilidad que:

a. En un día cualquiera no se presente ninguna demanda.

R/. P(r = 0)= 2^0*exp (2)/0!= 0,135335283

b. Por lo menos se presenten tres demandas en dos días.

R/. P (3< = r< =5/lamda = 2*3 = 6)

= F (5)-F (2)

= 0,445679641-0,061968804

= 0,383710837

5. Se supone que el número de accidentes por semana que ocurren en una fábrica sigue una distribución de Poisson con parámetro λ = 2. Se pide:

a. Probabilidad de que en una semana cualquiera ocurra un solo accidente.

R/. Tenemos que ocurren 2 accidentes en 1 semana por lo que 2 accidentes será la media, si llamamos a la variable X= nº accidentes ocurridos en una semana.

Resolvemos por la fórmula para el cálculo de probabilidades de la Poisson

P (λ): P (X=k)= e^-λ * ( (λ^k) / K!)

P(X=1) = e^-2 * ((2^1) / 1!) = 0,27 será la probabilidad de que ocurra

b. Probabilidad de que, en un grupo de 10 semanas, ocurran 3 accidentes en tres semanas distintas.

R/. Sea Z el número de semanas de entre 10 que hay un accidente.

Z sigue una B (10, p = 0,27067), luego

P (Z = 3) = 10/3 * p^3q^7

P (Z = 3) = 10/3 * (0.27067) ^3 * (0.72933) ^7

c. Probabilidad de que en una semana haya más de 3 accidentes.

R/. Sustituyendo k por 3

P (λ): P (X=k)= e^-λ * ( (λ^k) / K!)

P(X=3) = e^-2 * ( (2^3) / 3!) = 0,18 será la probabilidad en esta ocasión.

6. Los estudios muestran que cerca del 80% de las personas utilizan el metro como medio de transporte en Medellín. Si se toma una muestra de 10 personas:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 2 utilicen este medio de transporte?

R/. P(X ≥ 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)

P(X=2) = 8C2 * (0.8) ^2 *(0.2) ^6 = 0.001146

P(X=3) = 8C3 * (0.8) ^3 *(0.2) ^5 = 0.003006

P(X=4) = 8C4 * (0.8) ^4 *(0.2) ^4 = 0.04587

P(X=5) = 8C5 * (0.8) ^5 *(0.2) ^3 = 0.1468

P(X=6) = 8C6 * (0.8) ^6 *(0.2) ^2 = 0.2936

P(X=7) = 8C7 * (0.8) ^7 *(0.2) ^1 = 0.3355

P(X=8) = 8C8 * (0.8) ^8 *(0.2) ^0 = 0.1678

P(X ≥ 2) = 0.001146 + 0.003006 + 0.04587 + 0.1468 + 0.2936 + 0.3355 + 0.1678

P(X ≥ 2) = 0.993

P(X ≥ 2) = 99.3%

b. ¿cuantas se espera que utilicen este medio de transporte?

R/. E= 0 + 8 + 56 + 168 + 280 + 168 + 56 + 8 / 45

E = 16.7

Se espera que el 16.7 utilicen este medio de transporte

7. El supervisor de seguridad en una empresa cree que el número esperado de accidentes laborales por mes es de 3.4.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo mes ocurran exactamente 2 accidentes laborales?

R/. La función de distribución de Poisson es: f (k, L) = (e (-L) L*k)/ k!

Donde L = la media o esperanza de ocurrencia del evento (L=3.4)

K = es la cantidad que se busca la probabilidad

k = 2 es decir la proba es (e (-3.4) 3.4*2)/ 2!

f (k, L) = 0.3337 * 5.78

f (k, L) = 19.28%

b. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran 4 accidentes laborales en los próximos 2 meses?

R/. f (k, L) = (e (-L) L*k)/ k!

f (k, L) = (e (-3.4) 3.4*4)/ 4!

f (k, L) = 0.3337 * 133.6336/24

f (k, L) = 0.3337 * 5.568

f (k, L) = 18.58%

8. Un inspector de aduanas decide revisar 3 de 16 embarques provenientes de Panamá por vía aérea. Si la selección es aleatoria y 5 de los embarques contienen contrabando encuentre la probabilidad de que el inspector de aduanas.

a. No encuentre ningún embarque con contrabando.

R/. p = 1 –p (x = 3)

p (x = 3)= 16c11* (0.31) ^5 * (0.69) ^11

p (x = 3)= 4368* 0.002863 * 0.01687

p (x = 3)= 0.2107

p (x = 3)= 21.07%

p = 0.7889

p = 78.89%

b. Encuentre por lo menos dos embarques con contrabando

R/. P (x≥2) = 1 – P (x≤2)

= 1 – P(x=1) + P(x=0)

= 1 – +

= 1 – (0.491 + 0.2946)

= 0.2144

La probabilidad de que encuentre por lo menos dos embarques con contrabando es de 0.2144

9. El tiempo medio en realizar una misma tarea por parte de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal, con media de 40 minutos y desviación estándar de 6 minutos. Calcular la probabilidad de que un empleado elegido al azar

a. Realice la tarea en un tiempo inferior a 30 minutos

R/. Z= (X-M)/ ó

= (30-40)/8

= -1,25

P (Z<-1.25)= 0.1057

= 10.57%

b. Realice la tarea en un tiempo superior a 52 minutos

R/. Z= (X-M)/ ó

= (52-40)/8

= 1.5

10. Se sabe que aproximadamente el 60% de los estudiantes universitarios

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