Ejercicios Cadena De Marcov

Tenemos 2 bolas blancas y 2 negras. Las repartimos en dos urnas cada una con 2. El sistema

está en estado j si la urna 1 contiene j bolas blancas. En cada paso, sacamos una bola al azar

de cada urna y la ponemos en la otra urna. Determinar la matriz de probabilidades de

transición y la distribución límite.

2. Un profesor recibe una práctica cada mañana y la pone en una pila. Por las tardes, con

probabilidad 1/3 corrige todas las prácticas de la pila y las devuelve. Cuando hay cinco

prácticas, las corrige y devuelve seguro. Describir la correspondiente cadena de Markov.

¿Cuál es el número esperado de prácticas en la pila?

3. Los hábitos de estudio de un estudiante son como sigue : Si estudia una noche, está seguro en

un 70 % de que no estudiará la noche siguiente. Por otra parte, la probabilidad de que no

estudie dos noches seguidas es 0.6. A la larga, ¿ con qué frecuencia estudia ?

4. El territorio de un vendedor consta de tres ciudades A, B y C. Nunca vende en la misma

ciudad en dos días sucesivos. Si el vendedor trabaja en la ciudad A entonces al día siguiente

trabajará en la ciudad B, sin embargo, si trabaja en B o en C , la probabilidad de que trabaje

en la ciudad A es el doble de la probabilidad de que lo haga en cualquiera de las otras dos

ciudades. A la larga, ¿ con qué frecuencia trabaja el vendedor en cada una de las dos

ciudades.?

5. En cierta ciudad hay 3 canales de televisión, A, B y C. Un telespectador selecciona un canal

cada día. Si sintoniza el canal A un día, al día siguiente puede igualmente sintonizar cualquiera

de los otros dos canales. Si sintoniza el canal B, al día siguiente tiene un 40 % de probabilidad

de volver a sintonizar el mismo canal e igual probabilidad de sintonizar cada uno de los otros

dos. Si sintoniza el canal C, al día siguiente tiene un 70 % de probabilidad de sintonizar el

canal A, y la probabilidad de sintonizar el canal B es el doble de la de sintonizar C.

a) Determine el vector de los estados, y la matriz de transición.

b) Si el primer día selecciona la señal B, ¿ Qué probabilidad hay de que selecciones la señal A

al tercer día ?

c) Si el canal C transmite futbol el día sábado y el día lunes seleccionó el canal C, ¿ Qué

probabilidad tiene de ver el futbol ?

d) ¿ Con qué frecuencia sintoniza cada canal ?

6. Encontrar la matriz de transición de cada uno de los diagramas de transición siguientes :

(a) (b)

7. La variación del tiempo de un día a otro se supone que forma una cadena de Markov con la matriz

de transición siguiente.

Dado que hoy (domingo) está nublado, ¿cuál es la probabilidad de que el miércoles sea soleado?

8. Tres bolas blancas y tres negras están distribuidas en dos urnas A y B de forma que en cada

una de ellas hay tres bolas. Decimos que el sistema está en el estado i si la urna A contiene i

bolas blancas. En cada etapa cogemos una bola al azar de cada urna y la ponemos en la otra.

a) Indica los estados de la cadena de Markov que describe este problema, y calcula la matriz

de probabilidades de transición.

b) Sabiendo que inicialmente hay dos bolas blancas en la urna A, calcula la probabilidad de

que tras la segunda etapa todas las bolas sean blancas en dicha urna.

c) Obtener las probabilidades de equilibrio de esta cadena.

9. El funcionamiento de un determinado sistema de producción se puede modelizar mediante una

cadena de Markov con cinco estados (0-funcionamiento óptimo, 1-funcionamiento inestable,

2-bloqueo transitorio, 3-colapso, 4-restauración) con diagrama de transición:

Supuesto que en el instante n = 0 el sistema está funcionando de manera óptima, calcula el

vector de probabilidades de estado para el instante n = 2.

10. El ascensor de un edificio con bajo y dos pisos realiza viajes de uno a otro piso. El piso en el

que finaliza el viaje n-ésimo del ascensor sigue una cadena de Markov. Se sabe que la mitad

de los viajes que parten del bajo se dirigen a cada uno de los otros dos pisos, mientras que si

un viaje comienza en el primer piso, sólo el 25% de las veces finaliza en el segundo. Por

último, si un trayecto comienza en el segundo piso, siempre finaliza en el bajo. Se pide:

a) Calcular la matriz de probabilidades de transición de la cadena

b) Dibujar el grafo asociado

c) ¿Cuál es la probabilidad de que, a largo plazo, el ascensor se encuentre en cada uno de los

tres pisos.

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