Ejercicios resueltos de cadenas de Markov

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Instituto Tecnológico de Pabellón de Arteaga

Investigación de Operaciones II INGENIERÍA INDUSTRIAL.

Reporte Final. Cadenas de Markov | Unidad IV

PRESENTAN:

                                 Cristopher Calzada Campos.

                               Marco Antonio Loera González

                                  Marijose Pizaña Valadez

                         CARRERA: INGENIERÍA INDUSTRIAL

GRADO Y GRUPO:

“N5A”

“PROYECTO C - EDUCACIÓN”

DOCENTE:

M. Sc. Luis Bryant Díaz Andrade

Lugar y Fecha de entrega: Pabellón de Arteaga, Ags., a 10 de Diciembre de 2025

.i.        Índice.

I. Definición del Sistema y Estados……………………………………………………………3

II. Matriz de Transición………………………………………………………………………….5

III. N pasos……………………………………………………………………………………….6

IV. Clasificación de Estados……………………………………………………………………7

V. Distribución Estacionaria……………………………………………………………………9

VI. Interpretación Completa ………………………………………………………………….12

VII. Conclusión…………………………………………………………………………………13

VIII. Anexos…………………………………………………………………………………….14

ii.        Índice de Tablas.

Tabla 1. Matriz de transición…………………………………………………………………...5

Tabla 2. Matriz para P^1………………………………………………………………………..6

Tabla 3. Matriz para P^2………………………………………………………………………..6

Tabla 4. Matriz para P^5………………………………………………………………………..6

Tabla 5. Matriz para P^10………………………………………………………………………7

Tabla 6. Matriz para P^50……………………………………………………………………...7

iii.        Índice de Figuras.

Figura 1. Cadenas de Markov…………………………………………………………………4

Figura 2. Matriz de transición………………………………………………………………….5

Figura 3. Formula Distribución estacionaria………………………………………………….9

Figura 4.Probabilidades Estacionarias………………………………………………………..9

I. Definición del Sistema y Estados.

Concepto de las Cadenas de Márkov:

Las cadenas de Márkov están Caracterizadas por unos tiempos de entrada, recurrencia, de sus estados y una periodicidad, conceptos importantes que describen el comportamiento del sistema.

Estados: 

Los estados de una cadena de Márkov se clasifican con base en la probabilidad de transición 𝑝&' de P

1. Un estado 𝑗 es absorbente si está seguro de regresar a sí mismo en una transición, es decir 𝑝&' = 1.
2. Un estado 𝑗 es transitorio si puede llegar a otro estado, pero no puede regresar desde otro estado.
3. Un estado 𝑗 es recurrente si la probabilidad de ser revisitado desde otros estados es 1. Esto puede suceder si, y solo si, el estado no es transitorio.
4. Un estado 𝑗 es periódico con periodo 𝑡 > 1 si es posible un retorno sólo en t, 2t, 3t, pasos.

En nuestro proyecto nosotros utilizamos el comportamiento de estudio de alumnos en nuestra institución, el cual pueden presentar variaciones en función de factores como disciplina, hábitos, desmotivación, distracciones, problemas de aprendizaje, así como factores sociales/ambientales. Para modelar este comportamiento se empleó una cadena de Márkov de tiempo discreto, dado que se asumen que la actividad realizada por el estudiante en un día depende únicamente de la realizada el día anterior, cumpliendo así la propiedad.

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Figura 1. Cadenas de Markov.

En nuestro sistema de Cadenas de Márkov consideramos 3 estados fundamentales que afecta el comportamiento de los alumnos.

• Estudia: El alumno dedica tiempo efectivo al estudio, realiza actividades como tareas, estudia para las evaluaciones, revisa contenidos, pone atención a los maestros, muestra interés, etc.
• Se distrae: El alumno inicia una actividad de estudio, pero termina desviándose hacia tareas no académicas, un ejemplo de ellos es uso de teléfono, realizar otras actividades, salirse en horas de clases, etc.
• No estudia: El alumno no realiza ninguna actividad en clases, ejemplo no estudia para exámenes, no entrega tareas, falta a clases muy seguido y cuando va no pone atención o solo no entra a la clase.

Estos estados son mutuamente excluyentes y exhaustivo, pues describen de manera completa las posibles conductas académicas del alumno durante un día. La Cadena de Márkov nos permite analizar como los estudiantes del Instituto Tecnológico de Pabellón de Arteaga transiten entre estos estados con el tiempo y como estas transiciones influyen significativamente en su rendimiento.

II. Matriz de Transición.

Para construir la matriz de transición, se empleó un análisis de los alumnos en el ITPA sobre los patrones de estudio, procrastinación y hábitos de aprendizaje. Este análisis nos muestra que:

• Un estudiante que estudia tiende a mantener el hábito con probabilidad alta.
• Es frecuente que un estudiante que se distrae fluctúe entre estudiar y no estudiar.
• Un alumno que no estudia tiene una alta probabilidad de continuar sin estudiar.

Con base en eso, se proponen probabilidades razonables para el modelo:

Tabla 1. Matriz de transición.

Matriz de transición (P).

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Figura 2. Matriz de transición.

Interpretación:

• La diagonal muestra la probabilidad de permanecer en el mismo estado.
• La fila 1 indica que un alumno que estudia tiene 70% de probabilidad de seguir estudiando al día siguiente.
• La fila 2 muestra que un alumno distraído tiene igual probabilidad de seguir distraído (40%) o regresar a estudiar (40%).
• La fila 3 indica que un alumno que no estudia tiende a seguir sin estudiar (50%).

III. N pasos.

Una matriz de transición de una cadena de Markov describe las probabilidades de pasar de un estado a otro en un solo paso. La matriz de n-pasos, denotada como P^n, indica las probabilidades de transición después de n pasos. Para calcularla, se multiplica la matriz P por sí misma n veces utilizando la relación de Chapman–Kolmogorov.

A continuación se presentan las matrices P^n para n = 1, 2, 5, 10, 50:

P^1:

Tabla 2. Matriz para P^1.

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