El euclidianismo como modelo general del saber matemático

El euclidianismo como modelo general del saber matemático

La controversia entre la posibilidad o imposibilidad de establecer de modo conclusivo el significado y la verdad es la principal causa por lo que el racionalismo quiere demostrar la posibilidad de conocer.

Es así que el problema epistemológico () se plantea ante los cuestionamientos escépticos: ¿Cómo detener el regreso infinito en las definiciones y en las pruebas, y llevar a cabo una justificación lógica de las teorías matemáticas?[pic 1]

Para ello el Programa Euclídeo (un Programa de Trivialización del Conocimiento Matemático) propone que todo conocimiento matemático puede deducirse de un conjunto finito de proposiciones trivialmente verdaderas (axiomas) que constan de términos perfectamente conocidos (términos primitivos). La verdad de los axiomas fluye desde los axiomas hasta los teoremas por los canales deductivos de transmisión de verdad (pruebas).

Pero aún así la crítica escéptica continúa, el descubrimiento de los números irracionales hizo que los griegos abandonaran la certeza de la intuición aritmética por la intuición geométrica; elaborando “la teoría de las proporciones”. En el S XIX, se clarificó el concepto de número irracional y se restableció la intuición aritmética como absolutamente segura. Sucesivamente se disputaron este papel la intuición conjuntista (de Cantor), la lógica (de Russell), la global (de Hilbert) y la constructivista (de Brower).

Pueden ser consideradas como diferentes teorías euclídeas del saber matemático: El logicismo de Russell que pretende la trivialización lógica de las matemáticas; el formalismo de Hilbert intenta construir una meta-teoría trivial y el intuicionismo de Brouwer, recortar el conocimiento matemático hasta alcanzar su médula trivialmente segura.

 - La trivialización lógica de las matemáticas degeneró en un sistema sofisticado que incluía axiomas no trivialmente verdaderos como el de infinitud y el de elección. La teoría ramificada de los tipos lógicos que lejos de ser trivial es un verdadero laberinto conceptual. Además, términos primitivos como clase y relación de pertenencia resultaron ser oscuros y ambiguos; muy lejos de ser perfectamente conocidos. Incluso se hizo necesario una prueba de consistencia para asegurar que los axiomas trivialmente verdaderos  no se contradijesen entre sí. El fracaso de esta teoría nos lleva al formalismo.

- El formalismo se basaba en la idea en que todas las verdades aritméticas puedan ser deducidas formalmente. La meta-teoría que pertenecerá a la meta-matemática será capaz de probar la consistencia y completitud de los sistemas formales. Formada por teorías con axiomas trivialmente verdaderos, términos perfectamente bien conocidos e inferencias trivialmente seguras. Sería símbolo de la verdad absoluta hasta que los trabajos de Gödel derrumbaron esta teoría.

- Mas tarde, se obligaron a considerar que si un método es admisible en metamatemática es que sea intuitivamente convincente.

Pero los tres modelos caen en la contradicción, nacen con la crítica de la “intuición ingenua” pero después nos piden que aceptemos esa intuición como prueba definitiva.

Trivialización del proceso de enseñanza de las matemáticas

Una característica de los modelos epistemológicos euclidianos es la TRIVIALIZACION DEL CONOCIMIENTO esto penetra en el Sistema de Enseñanza de las Matemáticas dando lugar a dos modelos docentes (diferentes entre sí pero con la trivialización en común): el teoricismo y el tecnicismo, son modelos docentes clásicos, muy simplistas arraigados en la cultura común, por lo que hace al proceso de enseñanza, mecánico y trivial, totalmente controlable por el profesor.

• TEORICISMO: el saber matemático expresado en conocimientos acabados y cristalizados en “Teorías”.

- Para el teoricismo “enseñar y aprender matemáticas” es “enseñar y aprender teorías acabadas”. El proceso didáctico es el momento en el que el profesor enseña estas teorías a los alumnos

Pretende reducir todo conocimiento matemático al deducir un conjunto finito de proposiciones trivialmente verdaderas (axiomas) y que pueden enunciarse utilizando términos perfectamente conocido (términos primitivos)

Cuando un profesor muestra por primera vez los objetos matemáticos a sus alumnos se produce una fuerte concentración de los esfuerzos didácticos, lo llamamos “momento del primer encuentro”

Como las teorías matemáticas son triviales, porque se deducen a partir de axiomas trivialmente verdaderos en los que sólo figuran términos perfectamente conocidos, y enseñar matemáticas es mostrar éstas teorías, entonces la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas debería ser un proceso trivial. Esta conclusión es contradictoria con los datos empíricos disponibles y con las instituciones teoricistas. Es por eso, que la resolución de problemas se considera una actividad secundaria dentro del proceso didáctico global, y es un auxiliar en el aprendizaje de las teorías. Entonces, con los problemas se puede aplicar, ejemplificar o consolidar conceptos teóricos, o incluso justificarlos.

El teoricismo ignora las tareas dirigidas a elaborar estrategias de resolución de problemas complejos, cuando un problema no puede resolverse mediante un teorema, se trivializa descomponiendo el problemas en ejercicios rutinarios, lo que hace que se elimine la dificultad principal e incluso hasta el propio problema.

• TECNICISMO:

- Para el tecnicismo “Aplicar una técnica matemática” es “realizar una actividad absolutamente predeterminada por la teoría”

El menosprecio del dominio de las técnicas puede provocar un vacío del contenido de la enseñanza hasta el punto de que al final del proceso didáctico los alumnos no puedan mostrar ningún aprendizaje efectivo.

Al relacionar el “enseñar matemáticas” con “enseñar y aprender técnicas algorítmicas” se cae también en la trivialización del proceso de enseñanza de las matemáticas.

Al enfatizar las técnicas simples se tiende a olvidar lo principal: la dificultad de escoger las técnicas adecuadas para construir una “estrategia de resolución”

En el tecnicismo se plantea ejercicios que sirven como entrenamiento para llegar a dominarlas, y excluye las estrategias de resolución complejas. La trivialización de los problemas, en este caso, proviene de una fijación tan fuerte en las técnicas elementales que impide tomar  en consideración problemas matemáticos no rutinarios.

Ambos modelos, tienen una concepción psicologista ingenua del proceso didáctico, al cual se lo concibe como un proceso mecánico y trivial controlable por el profesor. Y son denominados modelos docentes clásicos.

En contraposición se encuentran los modernos, los cuales son resultados de una doble influencia: de la reacción a los modelos clásicos y como consecuencia de un cambo radical en el modelo epistemológico de las matemáticas dominantes en la institución.

El alumno:

- en el teoricismo se lo considera como una caja vacía a la cual debe llenarse en un proceso gradual que parte de los conceptos más simples a los más complejos.

- Y en el tecnicismo es considerado un autómata, es decir que mejora el dominio de la técnica por la repetición de ella en un entrenamiento a conciencia.

El mayor defecto de estos modelos es tratar a los problemas individualmente y no como una clase de problemas, y sacarlos de contexto y desconectarlos del sistema (matemático o extramatematico)

Modelos epistemológicos cuasi-empíricos

Se llegó a la convicción que la matemática considerada globalmente estaba organizada en sistemas deductivos no euclidianos, ya que en los sistemas matemáticos efectivamente construidos no se da una inyección de verdad indudable en los axiomas para que esta verdad fluya por los canales de las inferencias seguras e inunde a todo el sistema.

Por otro lado, nos encontramos con proposiciones matemáticas que son “indudablemente verdaderas” y constituyen las bases solidas sobre las que se construye el sistema deductivo, un conjunto de teoremas denominados por Lakato enunciados básicos.

Significa que lo que justifica una teoría matemática no es que los axiomas sean indudablemente verdaderos ni que no sean contradictorios entre sí. Sino que permita deducir efectivamente resultados esenciales.

Es por eso que ahora, el problema epistemológico cuasi-empírico (), plantea resolver un problema más amplio y de naturaleza no estrictamente lógica: el desarrollo del conocimiento matemático.[pic 2]

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