El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia entre el valor final menos el valor inicial.

INCREMENTOS.

El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia entre el valor final menos el valor inicial.

El incremento se representa por el símbolo [pic 1] delta ; [pic 2]x  se lee “ incremento de x” o “delta  x”.

Hallar los incrementos de “x”

 a)  x1 = 16       ; x 2 = 16,5                [pic 3]x = x 2 – x 1    →→→   16,5-16 = 0,5      [pic 4]x = 0,5

b ) x 1= -14 ; x 2 = -13         [pic 5]x = x2 – x 1  →→   -13- (-14) =  1     [pic 6]x = 1   

Si “y” es una función de “x” , [pic 7]    todo incremento dado a “x”  determina un incremento dado a “y” .

Si “x”  va de x 1  a x 2  ; “y”  también va de  y 1 a y 2;  →  [pic 8]x = x 2 –x 1 ;  [pic 9]y = y 2 – y 1.

Hallar el incremento de “y” correspondiente a los incrementos de “x” en la función  [pic 10]; si x 1= 2  y x 2 = 2,5  .

    [pic 11]x = 2,5 – 2 = 0,5  → y2 = 2 ( 2,5) +1 = 6 ;  y 1= 2(2) +1 = 5 ; [pic 12]y = 6-5 = 1

Ejercicios:

Hallar el incremento de “y” sabiendo que:

1 ) [pic 13] = x 2 +3x +2  ; Si x 1 = -3 ; x 2= - 1,5.

2)  [pic 14] =  3x + 5  ;  Si x 1 = -1/3 ; x 2= - 1/6.

3) [pic 15] = x 2 -5x +4  ; Si x 1 = 2/3 ; x 2= -1/3.

4) [pic 16] = x 2 -6  ; Si x 1 = -2 ; x 2= -5.

5)[pic 17] = x 2 +2x -6  ;  Si x 1 = 2 ; x 2= -1/4.

6)[pic 18] = x 3 -4x 2 -2x +1  ; Si x 1 =1, 4 ; x 2= 2

7)[pic 19] = x 2 +5x -6  ; Si x 1 = -1,2 ; x 2= -3,5.

8)[pic 20] = x 2 -1/ x-2  ;  Si x 1 = -2 ; x 2= 2,5.

9)[pic 21] = x 2 -3x +1    Si x 1 = 1 ; x 2 = 3,5 .

10)[pic 22] = x 2 -6/x-3  ;  Si x 1 = -2 ; x 2= -5.

DERIVADAS POR DEFINICIÓN.

Fórmula para derivar por definición:

[pic 23][pic 24]

        [pic 25]

                                      [pic 26]

[pic 27]

   [pic 28] [pic 29]

A continuación vamos a  a usar la  formula de Derivada por definición para ello seguiremos los pasos siguientes:

1º. Tener presente la fórmula

2º. Buscar las imágenes  f  (x + h )  y f  (x )  presentes en la fórmula

      sustituyendo x por x + h

3º Sustituir f ( x + h )  y f (x ) en  la fórmula

4º Evaluar el límite y resolverlo

Ejemplo:

1. y = x 2

       [pic 30]= [pic 31]= [pic 32]= [pic 33]

1. y = x 3

      [pic 34]= [pic 35]= [pic 36]

[pic 37]

c )  y = x

      [pic 38]= [pic 39]

1. y = k

        [pic 40]

1. y = [pic 41]

        [pic 42] Al tomar límite observamos una indeterminación [pic 43]

Levantamos la indeterminación  multiplicamos y dividimos por la conjugada

[pic 44]

1. y = senx

       [pic 45]         [pic 46]

[pic 47]= [pic 48]

[pic 49]= [pic 50]

= [pic 51].

Ejemplo: [pic 52]

Buscamos las imágenes : [pic 53]  sustituimos  las “x” de la función

por ( x + h ) entonces :

                                          [pic 54]

Ahora sustituimos los valores obtenidos en la fórmula: [pic 55]

               [pic 56]

Simplificamos y hacemos reducción de términos semejantes y tenemos

...