El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia entre el valor final menos el valor inicial.
Michael SanojaApuntes1 de Octubre de 2016
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INCREMENTOS.
El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia entre el valor final menos el valor inicial.
El incremento se representa por el símbolo [pic 1] delta ; [pic 2]x se lee “ incremento de x” o “delta x”.
Hallar los incrementos de “x”
a) x1 = 16 ; x 2 = 16,5 [pic 3]x = x 2 – x 1 →→→ 16,5-16 = 0,5 [pic 4]x = 0,5
b ) x 1= -14 ; x 2 = -13 [pic 5]x = x2 – x 1 →→ -13- (-14) = 1 [pic 6]x = 1
Si “y” es una función de “x” , [pic 7] todo incremento dado a “x” determina un incremento dado a “y” .
Si “x” va de x 1 a x 2 ; “y” también va de y 1 a y 2; → [pic 8]x = x 2 –x 1 ; [pic 9]y = y 2 – y 1.
Hallar el incremento de “y” correspondiente a los incrementos de “x” en la función [pic 10]; si x 1= 2 y x 2 = 2,5 .
[pic 11]x = 2,5 – 2 = 0,5 → y2 = 2 ( 2,5) +1 = 6 ; y 1= 2(2) +1 = 5 ; [pic 12]y = 6-5 = 1
Ejercicios:
Hallar el incremento de “y” sabiendo que:
1 ) [pic 13] = x 2 +3x +2 ; Si x 1 = -3 ; x 2= - 1,5.
2) [pic 14] = 3x + 5 ; Si x 1 = -1/3 ; x 2= - 1/6.
3) [pic 15] = x 2 -5x +4 ; Si x 1 = 2/3 ; x 2= -1/3.
4) [pic 16] = x 2 -6 ; Si x 1 = -2 ; x 2= -5.
5)[pic 17] = x 2 +2x -6 ; Si x 1 = 2 ; x 2= -1/4.
6)[pic 18] = x 3 -4x 2 -2x +1 ; Si x 1 =1, 4 ; x 2= 2
7)[pic 19] = x 2 +5x -6 ; Si x 1 = -1,2 ; x 2= -3,5.
8)[pic 20] = x 2 -1/ x-2 ; Si x 1 = -2 ; x 2= 2,5.
9)[pic 21] = x 2 -3x +1 Si x 1 = 1 ; x 2 = 3,5 .
10)[pic 22] = x 2 -6/x-3 ; Si x 1 = -2 ; x 2= -5.
DERIVADAS POR DEFINICIÓN.
Fórmula para derivar por definición:
[pic 23][pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28] [pic 29]
A continuación vamos a a usar la formula de Derivada por definición para ello seguiremos los pasos siguientes:
1º. Tener presente la fórmula
2º. Buscar las imágenes f (x + h ) y f (x ) presentes en la fórmula
sustituyendo x por x + h
3º Sustituir f ( x + h ) y f (x ) en la fórmula
4º Evaluar el límite y resolverlo
Ejemplo:
- y = x 2
[pic 30]= [pic 31]= [pic 32]= [pic 33]
- y = x 3
[pic 34]= [pic 35]= [pic 36]
[pic 37]
c ) y = x
[pic 38]= [pic 39]
- y = k
[pic 40]
- y = [pic 41]
[pic 42] Al tomar límite observamos una indeterminación [pic 43]
Levantamos la indeterminación multiplicamos y dividimos por la conjugada
[pic 44]
- y = senx
[pic 45] [pic 46]
[pic 47]= [pic 48]
[pic 49]= [pic 50]
= [pic 51].
Ejemplo: [pic 52]
Buscamos las imágenes : [pic 53] sustituimos las “x” de la función
por ( x + h ) entonces :
[pic 54]
Ahora sustituimos los valores obtenidos en la fórmula: [pic 55]
[pic 56]
Simplificamos y hacemos reducción de términos semejantes y tenemos
[pic 57]
Evaluamos el límite y tenemos la indeterminación 0/0
Entonces tomamos “h” como factor común en el numerador y lo simplificamos
[pic 58] = 2x + 4
EJERCICIOS:
1. [pic 59] 2. [pic 60] 3. [pic 61] 4.[pic 62]
5. [pic 63] 6. [pic 64] 7. [pic 65] 8. [pic 66]
9. [pic 67] 10. [pic 68] 11. [pic 69] 12. [pic 70]
13. [pic 71] 14. [pic 72] 15. [pic 73] 16. [pic 74]
17. [pic 75] 18.[pic 76] 19 . [pic 77] 20. [pic 78]
DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN.
y [pic 79]
[pic 80][pic 81]
f(x+h)[pic 82][pic 83][pic 84][pic 85]
f (x+h) – f(x)
f(x)= y
[pic 86][pic 87]
[pic 88][pic 89]
x x+h x
[pic 90]
h
...