El principio de las fuerzas virtuales

El principio de las fuerzas virtuales declara lo siguiente (en mis

palabras): si un

grupo de fuerzas externas infinitesimales,

R, en un estado de equilibrio con un f que existen antes

RTu = f Td

de la aplicación de las cargas y desplazamientos reales, el trabajo virtual externo es igual al trabajo virtual interno. O, en términos de la notación que se define arriba: (3.1) Si se va a calcular el desplazamiento de solo una unión ui , existe solamente una carga virtual externa, Ri = 1. Para este caso, la ecuación es la misma que el

método de carga unitaria. Queda claro que para el análisis no-lineal, no se puede d

f

f

f

B. Trabajo Virtual Interno

fd

u

R

R

R

A. Trabajo Virtual Externo

R u

Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.com

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estructuras que se encuentran en equilibrio en una posición real desplazada juego de fuerzas internas infinitesimales

emplear el principio de las fuerzas virtuales porque la relación lineal entre R y

f podría no sostenerse después de la aplicación de cargas y desplazamientos

reales.

Figura 3.2 Método de los Desplazamientos Virtuales

El principio de desplazamiento virtual reza lo siguiente (en mis palabras): si un

grupo de desplazamientos externos infinitesimales,

u , consistente con un grupo

de desplazamientos virtuales internos,

d , y se aplican las condiciones de borde después de la aplicación de las cargas y los desplazamientos reales, el trabajo virtual externo es igual al trabajo virtual interno. O, en términos de notación

matricial:

u TR = d T f (3.2) Es importante notar que el principio de desplazamiento virtual se aplica a la solución de sistemas no-lineales porque los desplazamientos virtuales se aplican

a fuerzas reales en la estructura deformada.

En el caso del análisis de elementos finitos de sólidos continuos, los principios

del trabajo virtual se aplican a nivel de esfuerzos y deformaciones; por lo tanto, se requiere la integración sobre el volumen del elemento para calcular los términos del trabajo virtual.

Para el análisis lineal, es aparente que el trabajo externo real, o la energía, se expresa como sigue: u TR RTu

2

1

2

1 = = WE (3.3) u

R

R

u

A. Trabajo Virtual Externo Ru

d

f

f

d

B. Trabajo

Virtual Interno fd

Comprado por: Alejandro Vasquez Arteaga alejandrovasqueza@gmail.com

Comprado por: Alejandro Vasquez ArteagaDesplazamientos Arteaga

entos interno

no

principi

ArteagaB.

El trabajo interno real, o energía de deformación, se expresa como sigue:

d T f f Td

2

1

2

1 = = WI (3.4) 3.3 ENERGÍA POTENCIAL Y ENERGÍA CINÉTICA

Una de las formas más fundamentales de la energía es la posición de una masa

dentro de un campo gravitacional cerca de la superficie de la tierra. La energía potencial gravitacional Vg se define como el peso constante w que se mueve contra un campo constante gravitacional de distancia h . Esto es:

ó Vg g mghVWh = = (3.5) Una masa que se mueve con una velocidad v posee energía

cinética que se expresa con la siguiente ecuación:

1 2

k 2 V mv = (3.6) energía potencial como de la cinética es el comportamiento de un péndulo, como

se indica en la Figura 3.3

Si la masa del péndulo tiene una posición inicial de max h , la energía cinética es Wh

max

...