Estadistica

INTRODUCCIÓN

En cualquier experimento, la variabilidad proveniente de un factor de ruido puede afectar los resultados.

Un factor de ruido es un factor que probablemente tiene un efecto en la respuesta pero que no nos interesa estudiar.

Si el factor de ruido es desconocido y no controlable, la solución es la aleatorización, que tiende a distribuir los niveles y efectos de este factor entre todas las u.e.

Si el factor de ruido es conocido y no controlable, pero por lo menos podemos medir su valor en cada corrida del experimento, entonces podemos compensarlo usando análisis de convarianza. Si el factor de ruido es conocido y controlable, se utilizan bloques para elimina su efecto en la comparación estadística de los tratamientos.

Nuestro objetivo es tener comparaciones precisas entre los tratamientos bajo estudio. Utilizar bloques es una forma de reducir y controlar la varianza del error experimental para tener mayor precisión.

En el diseño completamente al azar se supone que las u.e. son relativamente homogéneas con respecto a factores que afectan la variable de respuesta. Sin embargo, algunas veces no tenemos disponibles suficiente número de u.e. homogéneas.

Cualquier factor que afecte la variable de respuesta y que varíe entre u.e. aumentará la varianza del error experimental y disminuirá la precisión de las comparaciones.

Factores como la edad y el peso de los animales, diferentes lotes de material, sexo de las personas y parcelas alejadas son ejemplos de variables externas a los tratamientos que pueden incrementar la variación entre las observaciones de la variable de respuesta.

5.1 METODOLOGIA DEL DISEÑO EXPERIMENTAL DE BLOQUES AL AZAR

En muchos problemas de diseño experimental es necesario diseñar el experimento de modo que sea posible controlar la variabilidad generada por un factor indeseable. El procedimiento general para el diseño aleatorizado por bloques completos consiste en seleccionar b bloques y realizar una réplica completa del experimento en cada uno de ellos.

En cada bloque existen a observaciones (una por cada nivel del factor), y el orden en que se toman estas observaciones se asigna de manera aleatoria dentro del bloque.

Suponga que tiene interés en un solo factor que tiene a niveles, y que el experimento se efectúa en b bloques. Las observaciones pueden presentarse con el modelo estadístico lineal.

Donde μ es la media global, iτ es el efecto del i-ésimo tratamiento, jβ es el efecto del j-ésimo bloque y jiε es el término de error aleatorio, el cual se supone que tiene una distribución normal e independiente con media cero y varianza ().En principio, los efectos de los tratamientos y de bloques son considerados como factores fijos. Por otro lado, los efectos de los tratamientos y de los bloques son definidos como desviaciones de la media global.

Usar bloques estratifica a las u.e. en grupos homogéneos.

Una buena elección del criterio de bloqueo resulta en menor variación entre las u.e. dentro de los bloques comparada con la variación entre u.e. de diferentes bloques. Generalmente los criterios de bloqueo son:

• proximidad (parcelas vecinas)

• características físicas (edad, peso, sexo)

• tiempo

• manejo de las u.e. en el experimento

•

Suponga que se tienen t tratamientos que se quieren comparar en b bloques.

El diseño de bloques (completos) al azar implica que en cada bloque hay una sola observación de cada tratamiento. El orden en que se “corren” los tratamientos dentro de cada bloque es aleatorio (restricción en la aleatorización).

El Análisis de Varianza para este diseño se basa en una descomposición de la variabilidad de las observaciones.

Suponiendo normalidad en los errores, se puede demostrar que

son v.a. independientes con distribución χ2 con sus correspondientes grados de libertad.

No se deben probar bloques.

La aleatorización se aplicó solamente a tratamientos dentro de bloques, esto es, los bloques representan una restricción a la aleatorización.

Si se tiene un grupo de u.e. donde se supone que ocurre un efecto β en todas las u.e. simultáneamente, esto no equivale a la ocurrencia independiente de β en cada u.e.

Los residuales en este caso son:

Los contrastes y comparaciones múltiples se hacen igual que antes, considerando este nuevo CME.

Diseños con bloques

Bloques al azar: bloques de tamaño t (número de tratamientos)

Bloques al azar generalizados: se repiten los tratamientos en cada bloque

Bloques incompletos: los bloques no contienen a todos los tratamientos

5.2 DISEÑO DE EXPERIMENTOS FACTORIALES

Muchos experimentos se llevan a cabo para estudiar los efectos producidos por dos o más factores. Puede mostrarse que en general los diseños factoriales son los más eficientes para este tipo de experimentos. Por diseño factorial se entiende aquel en el que se investigan todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores en cada ensayo completo o réplica del experimento.

Por ejemplo, si existen “a” niveles del factor A y “b” niveles del factor B, entonces cada réplica del experimento contiene todas las “ab” combinaciones de los tratamientos. A menudo, se dice que los factores están cruzados cuando éstos se arreglan en un diseño factorial.

El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta producida por un cambio en el nivel del factor. Con frecuencia, éste se conoce como efecto principal porque se refiere a los factores de interés primordial del experimento. Por ejemplo, consideremos los datos de la tabla 1. El efecto principal del factor A podría interpretarse como la diferencia entre la respuesta promedio en el primer y segundo nivel de ese factor. Numéricamente:

Tabla 1 Un experimento factorial

En otras palabras incrementar el factor A del nivel 1 al 2 produce un cambio en la respuesta promedio de 21 unidades. Similarmente, el efecto principal de B es:

Si los factores tienen más de dos niveles, el procedimiento anterior debe ser modificado ya que las diferencias entre las respuestas promedio pueden expresarse de muchas formas.

En algunos experimentos puede encontrarse que la diferencia en la respuesta entre los niveles de un factor no es la misma en todos los niveles de los otros factores. Cuando esto ocurre existe una interacción entre los factores. Por ejemplo, considérense los datos de la Tabla 2.

Tabla 2. Un experimento factorial con interacción

En el primer nivel del factor B, el efecto de A es:

A = 50 - 20 = 30

Mientras que en el segundo nivel de B, el efecto de A es:

A = 12 - 40 = 28

Puede observarse que existe una interacción entre los factores A y B porque el efecto de A depende del nivel elegido de B.

Estas ideas pueden ilustrarse gráficamente. En la Fig. 1 se muestra una gráfica de la respuesta de los datos de la Tabla 1 contra los niveles del factor A para ambos niveles del factor B. Se observa que las rectas B1 y B2 son, aproximadamente, paralelas. Esto indica que no hay interacción entre los factores. De manera similar, en la Fig. 2 se presenta una gráfica de la respuesta de los datos de la Tabla 2.

Figura 1 Un experimento factorial sin interacciones

En este caso se ve que las rectas B1 y B2 no son paralelas. Esto muestra que existe una interacción entre A y B. Sin embargo, no debe ser la única técnica para analizar los datos, porque su interpretación es subjetiva y su apariencia, a menudo, es engañosa.

Figura 2 Un experimento factorial con interacciones

Hay que notar que cuando una interacción es grande los correspondientes efectos principales tienen poco significado práctico. Una estimación del efecto principal de A de los datos de la Tabla 2 es:

El cual resulta ser muy pequeño corriéndose el riesgo de concluir que no existe un efecto debido a A. Sin embargo, cuando se examinó el efecto de A en niveles diferentes de B se concluyó que éste no era el caso. El factor A tiene un efecto, pero depende del nivel del factor B. En otras palabras, es más útil conocer la interacción AB que el efecto principal. Una interacción significativa oculta a menudo el significado de los efectos principales.

Ventajas de los diseños factoriales

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as ventajas de los diseños factoriales pueden ilustrarse fácilmente. Supongamos que se tienen dos factores, A y B, cada uno con dos niveles. Estos niveles se representan mediante A1, A2, B1 y B1. La información acerca de ambos factores puede obtenerse variando un factor a la vez como aparece en la tabla 3.

El efecto de variar el factor A está dada por A2B1 -A1B2. A causa de que existe error experimental, es conveniente realizar, por ejemplo, dos observaciones de cada combinación de tratamientos y hacer una estimación de los efectos de los factores usando las respuestas promedio.

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