Exposicion Calculo Diferencial

Límite finito

Definición de Límite finito de una función

limx->a f(x)=b <=> para todo ε>0 existe δ>0 / para todo x, 0 < |x-a| < δ |f(x) - b| < ε.

Se dice que la función f(x) tiene límite b, cuando x tiende a a, si dado ε positivo arbitrario y tan pequeño como se quiera, existe un δ tal que para todo x perteneciente al entorno reducido de a de radio δ, la función pertenece al entorno de b de radio ε. Dicho de otro modo, para cualquier número positivo ε, por pequeño que sea, podemos encontrar un δ tal que para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) está dentro del entorno de b de radio ε.

limx->af(x)=b significa que por más pequeño que sea el entorno considerado alrededor de b, va a ser posible encontrar un entorno de a, para cuyos valores x (x ≠ a), la función f da como resultado valores que están dentro del entorno de b considerado.

En otras palabras, la función f(x) tiene límite b, cuando x tiende a a, si el valor de la función f(x) se hace arbitrariamente próximo al valor b cuando x se aproxima al valor a.

Definición de Intervalo cerrado

Un segmento en el eje numérico con extremos a y b, con a < b, se denomina intervalo. Si los puntos extremos, a y b, están incluidos en el intervalo, se dice que el intervalo es cerrado, y se denota por [a,b].

[a,b] = { x perteneciente a R / a <= x <= b }

El intervalo cerrado [a,b] consiste de los puntos x para los cuales a <= x <= b.

Definición de Intervalo abierto

Si los puntos extremos se excluyen, el intervalo se llama abierto, y se denota por (a,b).

(a,b) = { x perteneciente a R / a < x < b }

El intervalo abierto (a,b) consiste de aquellos puntos x para los cuales a < x < b.

Definición de Límites laterales

Límite de f(x) en el punto a por la derecha :

limx->a+f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) |f(x) - b| < ε.

Límite de f(x) en el punto a por la izquierda :

limx->a-f(x)=b <=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) |f(x) - b| < ε.

Nota: x->a+ indica que x tiende a a por la derecha, es decir que x pertenece al entorno (a,a + δ).

x->a- indica que x tiende a a por la izquierda, es decir que x pertenece al entorno (a - δ,a).

A veces las funciones son discontinuas o no están definidas en un punto a, pero son continuas a uno y otro lado. En estos casos, el límite por la izquierda puede ser distinto del límite por la derecha.

Ejemplo

f(x) = x2 si x <= 2

-2x + 1 si x > 2

limx->2-f(x)=4

limx->2+f(x)=-3

No existe limx->2f(x)

Teorema

Existe el límite finito de una función <=> los límites laterales son iguales.

H) limx->af(x)=b

T) limx->a+f(x) = limx->a-f(x) = b

Demostración:

Directo:

limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε.

=> para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) f(x) pertenece al Eb,ε => (por def. de límites laterales) limx->a-f(x)=b.

y para todo ε > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x) pertenece al Eb,ε => (por def. de límites laterales) limx->a+f(x)=b.

Recíproco:

limx->a+f(x)=b => para todo ε > 0 existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente a (a,a + δ1) f(x) pertenece al Eb,ε.

limx->a-f(x)=b => para todo ε > 0 existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ2,a) f(x) pertenece al Eb,ε.

Sea δ = min {δ1,δ2}

Para todo x perteneciente a E*a,δ f(x) pertenece al Eb,ε. =>limx->af(x) = b.

Ejemplo: en la función del ejemplo anterior, no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x) ≠ limx->2+f(x).

Límite infinito

Observemos la función f(x)=1/x2 para valores de x positivos muy grandes.

x f(x)

100 1,0x10-4

1.000 1,0x10-6

10.000 1,0x10-8

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