Forma Trigonometrica Polar

Forma trigonométrica o polar de los números complejos

4.2 Forma trigonométrica y forma polar.

Esta expresión, z = r·(cos x + i·sen x), recibe el nombre de forma trigonométrica de z, donde r es el módulo de z y x su argumento.

Definimos la forma polar del número complejo z = r·(cos x + i·sen x) como rx.

4.3 Igualdad de números complejos en forma trigonométrica.

Veamos cuando dos complejos en forma trigonométrica, o en forma polar, son iguales:

Sean z1 = r·(cos x + i·sen x) y z2 = r´·(cos y + i·sen y). Si z1 = z2, entonces r·(cos x + i·sen x) = r´·(cos y + i·sen y). Como dos números complejos iguales tienen el mismo módulo, entonces r = r´, y por tanto, (cos x + i·sen x) = (cos y + i·sen y), de donde:

cos x = cos y ==> y = x + 2·k·pi, con k C Z

sen x = sen y

Por tanto, r·(cos x + i·sen x) = r·[cos (x + 2·k·pi) + i·sen(x + 2·k·pi)], y en forma polar resulta:

rx = rx + 2·k·pi

4.4 Paso de la forma binómica a la forma polar

Hemos visto que z = a + b·i = r·(cos x + i·sen x) = r·cos x + i·r·senx, de donde:

a = r·cos x

b = r·sen x

Por otra parte, sea z = a + b·i un número complejo en forma binómica. Por definición tenemos que:

|z| = (a2 + b2)1/2

Además es:

b/a = (r·sen x)/(r·cos x) = (sen x)/(cos x) = tg x

Por tanto

x = arc tg (b/a)

estudiando el cuadrante de x según los signos de la parte real y de la parte imaginaria le z.

a + bi = rα = r (cos α + i sen α)

Formas:

Binómica z = a + bi

Polar z = rα

Trigonométrica z = r (cos α + i sen α)

Números complejos en forma polar :

Un número complejo en forma polar consta de dos componentes: módulo y argumento.

Módulo de un número complejo

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

.

Expresión de un número complejo en forma polar.

z = rα

|z| = r r es el módulo.

arg(z) = es el argumento.

El argumento φ y módulo r localizan un punto en un diagrama de Argand; o es la expresión polar del punto.

En esta representación, es el módulo del número complejo y el ángulo es el argumento del número complejo.

Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:

Sacamos factor común r:

Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:

la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.

Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.

Según la Fórmula de Euler, vemos que:

No obstante, el ángulo no está unívocamente determinado por z, pueden existir infinitos números complejos que tienen el mismo valor representado en el plano, que se diferencian por el número de revoluciones, ya sean de sentido antihorario (positivas) u horario (negativas) las cuales se representan por números enteros , como implica la fórmula de Euler:

Por esto, generalmente restringimos al intervalo [-π, π) y a éste restringido lo llamamos argumento principal

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