TRANSFORACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS DE FORMA BINÓMICA A POLAR Y VICEVERSA

EXPOSICIONES

TRANSFORACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS DE FORMA BINÓMICA A POLAR Y VICEVERSA

Un número complejo es una combinación de un número real y un número imaginario. Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria. La unidad imaginaria es el número [pic 1] y se designa por la letra i.

Sea z = a + b·i un número complejo en su forma binómica.

Un número imaginario se denota por bi, donde:

“b” es un número real e “i” es la unidad imaginaria

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

El conjunto de todos los números complejos se designa por [pic 2].

Los números complejos z= a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.

Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

REPRESENTACIONES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

FORMA POLAR:

La forma polar de un número complejo ofrece ventajas notables sobre la forma rectangular, en los casos de multiplicación y división. Esta forma también facilita la extracción de raíces de números complejos.

[pic 6]

ELEMENTOS DE LA FORMA POLAR

        r = módulo (Ej. 5)

         = Argumento ( Ej.  )[pic 7][pic 8]

        cis = abreviatura de Cos y Sen

FORMA BINÓMICA, RECTANGULAR O ESTÁNDAR.

La forma binómica de un número complejo viene dada por dos partes, una parte real y una parte imaginaria.

[pic 9]

ELEMENTOS DE LA FORMA BINÓMICA

        a = Parte Real

        bi = Parte Imaginaria

FORMA TRIGONOMÉTRICA

La forma trigonométrica es escribir el número complejo  de la forma: [pic 10]

   siendo r el módulo y  el argumento de . [pic 11][pic 12][pic 13]

ELEMENTOS DE LA FORMA TRIGONOMÉTRICA

        r = módulo

         = argumento[pic 14]

FÓRMULAS DE TRANSFORMACIÓN DE LA FORMA RECTANGULAR A LA FORMA POLAR DE NÚMEROS COMPLEJOS

TRANSFORMACIÓN DE FORMA POLAR A BINÓMICA.

EJERCICIO 1

Expresar   en forma rectangular o binómica. [pic 21]

Solución

 [pic 22]

 [pic 23]

 [pic 24]

EJERCICIO 2:

Expresar  en forma rectangular o binómica. [pic 25]

Solución

Para X:

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

Para Y:

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

Entonces:

 [pic 32]

TRANSFORMACIÓN DE FORMA BINÓMICA A POLAR.

EJERCICIO 3

Expresar  en forma polar. [pic 33]

Solución

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

EJERCICIO 4

Expresar  en forma polar. [pic 37]

Solución

[pic 38]

[pic 39]

[pic 40]

PRODUCTO DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR

DEFINICIÓN:

El producto de dos números complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el producto de los módulos y el argumento del producto es la suma de argumentos.

r=Modulo     (𝞪, 𝞫)=Argumento

 r1𝞪 ₓ r2𝞫= (r1 ₓ r2) 𝞪 + 𝞫

DEMOSTRACIÓN:

Sean: Z1=r1ₓ (cos𝞪+isen𝞪)         Dos números complejos en forma trigonométrica.[pic 41]

           Z2=r2ₓ (cos𝞫+isen𝞫)    

Z1ₓZ2= [r1ₓ (cos𝞪+isen𝞪)] ₓ [r2ₓ (cos𝞫+isen𝞫)]                                                                                                            

          =r1ₓr2ₓ (cos𝞪+isen𝞪) ₓ (cos𝞫+isen𝞫)

          =r1ₓr2ₓ (cos𝞪cos𝞫+icos𝞪sen𝞫+isen𝞪cos𝞫+i2ₓsen𝞪sen𝞫)

          =r1ₓr2ₓ [(cos𝞪cos𝞫-sen𝞪sen𝞫)+iₓ (cos𝞪sen𝞫+sen𝞪cos𝞫)]

          =r1ₓr2ₓ [cos (𝞪+𝞫)+iₓsen (𝞪+𝞫)]

          =Z1ₓZ2=r1ₓr2ₓ [cos (𝞪+𝞫)+iₓsen (𝞪+𝞫)]

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