Funciones Exponenciales

Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Función Exponencial

Sea un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia se llama función exponencial de base a y exponente x.

Como para todo ,la función exponencial es una función de en .

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial.

Teorema (Leyes de los Exponentes)

Sean a y b reales positivos y x,yÎÂ ,entonces:

1.

2.

3.

4.

5. .

6.

Cuando a > 1, si x < y, entonces, .Es decir, cuando la base a es mayor que 1, la función exponencial

de base a es estrictamente creciente en su dominio.

Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces, .

Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en su dominio.

.

Si 0< a < b, se tiene:

.

Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases.

Cualquiera que sea el número real positivo , existe un único número real tal que

. Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva.

Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e y son reales, la demostración utiliza elementos del análisis real.

Gráfica de la Función Exponencial

En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2).

(fig.1)

(fig.2)

Se nota que cuando la base a es mayor que 1, la función exponencial

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