Funciones Exponenciales

Dos ejercicios de Función cuadrática.

Introducción

A continuación resolveremos ecuaciones cuadráticas para adquirir la habilidad de solucionarlas y aplicarlas en la administración.

Toda ecuación ax2 + bx +c , con a, b, c, pertenecen R y a debe ser diferente de 0, se les llama ecuaciones de segundo grado con variable x.

Las ecuaciones donde los coeficientes de b y c o ambos es cero se llaman incompletas.

Existen dos formas de resolver ecuaciones cuadráticas: por factorización o por formula

Como hemos venido observando la gráfica de una función cuadrática es f(x)=ax 2 + bx + c, Tiene un vértice en el punto (h,k) donde están dadas por:

h= -b/2a

k= c - b 2 / 4a

A si mismo k=f(h). Si a > 0, el vértice es un punto mínimo y el valor mínimo de la función cuadrática f es igual a k. este valor mínimo se produce en x=h=-b / 2ª.

Si a < 0, el vértice es un punto máximo de la función cuadrática f es igual a k. este valor máximo se producen x=h= -b/2ª

Problema 1. La función está dada por El lucro de una empresa está dado en miles de dólares, dada por la ecuación:

:

P(x)= 5000 +1000x -5x2 ,

donde x es la cantidad en miles de dólares, que la empresa gasta en publicidad.

Encuentra la cantidad x, que la empresa tiene que pasar para maximizar su beneficio.

Encuentra el máximo beneficio Pmax.

Solución.

P es la función que le da beneficio a la empresa, está representada por una función cuadrática con el coeficiente líder de -5 y la función sin fines de lucro ésta representada por un valor máximo en x=h= -b / 2ª

a= -5, b=1000, c=5000

x=h= - 1000/2(-5)= 100

La ganancia máxima Pmax, cuando x =100 miles se gastan en la publicidad, también está dada por P(h,100)

P(100)=5000 +1000 (100) -5 (100) 2=

P(100)= 5000 + 100000 – 50000= 55,000

Cuando la empresa gasta 100 mil dólares en publicidad, el beneficio es máximo y es igual a 55,000 dolares.

El gráfico de esta expresión es P(x), observe el punto máximo, el vértice en (100,5500)

x P(x)= 5000 +1000x -5x2 Pares Coordenados

0 p(x)= 5000 + 1000 (0) - 5(0 ) 2 = 5000 (0,5000)

50 p(x)= 5000 + 1000 (50) - 5(50 ) 2 = 42,500 (50,42,500)

100 p(x)= 5000 + 1000 (100) - 5(100) 2 = 55,000 (100,55,000)

150 p(x)= 5000 + 1000 (150) - 5(150) 2 = 42,500 (150,42,500)

200 p(x)= 5000 + 1000 (200) - 5(200 ) 2 = 5,000 (200,40)

El método de solución de ecuaciones cuadráticas por factorización se basa en la siguiente propiedad de producto nulo de números reales:

Si a pertenece a R y b pertenece a R y a x b=0, entonces a=0 o b=0

Problema II.

Un fabricante determina un ingreso “R” obtenido por la producción y venta de x artículos, está dada por la función R=350x – 0.25x2

a) Calcule el ingreso cuando se venden 100 artículos

b) Si el ingreso obtenido es 120,000, determine la cantidad de artículos vendidos.

Para resolver el primer inciso resolvemos la función cuadrática:

Donde R=350x – 0.25x2 por la producción

x= venta de artículos

R= 350 (100) – 0.25 (100*100)

R= 35000- 2500= 32 500

Mensualmente la fábrica puede vender x unidades de cierto producto a p pesos cada uno, en donde la relación entre p y x (precio y número de artículos vendidos) está dada por la siguiente función p(X)= -0.25 x2 +350x

¿Cuántos artículos debe vender si obtiene un ingreso de

...