Funciones exponenciales

Definición: Una parábola es el conjunto de puntos P(x, y) en el plano que equidistan de un punto fijo F (llamado foco de la parábola) y de una recta fija L(llamada la directriz de la parábola)

El punto medio entre el foco y la directriz se llama vértice, la recta que pasa por el foco y por el vértice se llama eje de la parábola. Se puede observar en la figura 1 que una parábola es simétrica respecto a su eje.

Tenemos dos tipos básicos de la parábola:

• Centro en el origen: C(0,0)

• Centro fuera del origen: C(h, k)

En base a ello es posible establecer los elementos de la parábola como sigue:

A. Parábola con eje focal en el eje “y” (parábolas verticales)

x x

F(0,a) y = a

a y a C (0,0) y

-a C(0,0) - a

y = - a F(0,-a)

x2 = 4 ay x2 = - 4 ay

Foco: (0, a) Centro: C (0,0) Foco: (0, -a) Centro: C (0,0)

Lado recto: |4a| Directriz: y = - a Lado recto: |4a| Directriz: y = a

B. Parábola con eje focal en el eje “x” (parábolas horizontales)

x x

V(0,0) a F(a,0) y F(-a,0) a y

-a - a V (0,0)

x = - a x = a

y2 = 4 ax y2 = - 4 ax

Foco: (a, 0) Vértice: V (0,0) Foco: (-a, 0) Vértice: V (0,0)

Lado recto: |4a| Directriz: x = - a Lado recto: |4a| Directriz: x = a

C. Parábola con eje focal paralelo al eje “y” (parábolas verticales)

x x

F (h, k+a) y = k + a

a a

V(h,k) V(h,k)

-a - a

y = k - a F(h, k-a)

(x – h)2 = 4 a (y – k) (x – h)2 = – 4 a (y – k)

Foco: (h, k + a) Vértice: C (h, k) Foco: (h, k – a) Vértice: C (h, k)

Lado recto: |4a| Directriz: y = k - a Lado recto: |4a| Directriz: y =k + a

D. Parábola con eje focal paralelo al eje “x” (parábolas horizontales)

y y

-a a F(h+a, k) F(h-a, k) a - a

V(h,k) V(h,k)

y= h – a y = h + a

(y – k)2 = 4 a (x – h) (y – k)2 = – 4 a (x – h)

Foco: (h + a, k) Vértice: C (h, k) Foco: (h – a, k) Vértice: C (h, k)

Lado recto: |4a| Directriz: x = h - a Lado recto: |4a| Directriz: x = h + a

Ejemplo 1:

Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es y2 – 6 y – 4x + 17 = 0.

Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado en a. De la ecuación de la parábola tenemos que

De donde obtenemos que p = 1y el vértice v = (2,3), por lo tanto, la parábola abre hacia la derecha y tiene el foco en F = (3, 3), la recta directriz es x = 1.

Ejemplo 2:

Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en (-2, 4) y foco en (-2, 3).

Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parábola es vertical, además abre hacia abajo y p = -1, entonces la ecuación está dada por y – 4 = - 4 (x + 2)2 la directriz

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