Funciones Y Ecuaciones Lineales

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA

"ANTONIO JOSÉ DE SUCRE"

AMPLIACIÓN GUARENAS

RELACIONES INDUSTRIALES

S.A.I.A

FUNCIONES Y ECUACIONES

LINEALES

Autor: Ender Orive

C.I. 16020024

Profesora: Licda. Roxana Tovar

Guarenas, Mayo 2014

Índice

Contenido Pág.

Introducción ………………………………………………..03

Funciones Algebraicas ………………………………………………..04

Tipos de Funciones ………………………………………………..07

Funciones Explicitas ………………………………………………..07

Funciones Implícitas ………………………………………………..08

Funciones Polinómica ………………………………………………..08

Funciones Constantes ………………………………………………..08

Funciones Polinómica de Primer Grado

………………………………………………..08

Función Afín ………………………………………………..08

Función Lineal ………………………………………………..09

Función Idéntica ………………………………………………..09

Funciones Cuadráticas ………………………………………………..10

Funciones Racionales ………………………………………………..10

Funciones Radicales ………………………………………………..10

Funciones Algebraicas a Trozos

………………………………………………..11

Funciones en Valor Absoluto ………………………………………………..11

Función Parte Entera X ………………………………………………..12

Función Mantisa ………………………………………………..13

Función Signo ………………………………………………..13

Funciones Trascendentes ………………………………………………..14

Funciones Exponenciales ………………………………………………..14

Funciones Logarítmicas ………………………………………………..14

Funciones Trigonométricas ………………………………………………..14

Ecuaciones Lineales ………………………………………………..15

Conclusión ………………………………………………..17

Bibliografía ………………………………………………..18

Introducción

Las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”. Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas o estudio de fenómenos y procesos que ocurren en la Naturaleza y la Sociedad que conducen a la formulación de modelos que los describen y predicen su comportamiento, los cuales, no obstante su diversidad, pueden agruparse en dos categorías: continuos, como la descripción de la transmisión del movimiento a través de una cuerda, el desplazamiento de un vehículo, etc., o discretos, como la serie de pagos históricos de una entidad, los registros de temperatura de un país o territorio, etc.

Esta última categoría, discretos, tiene gran importancia en la actualidad atendiendo al acelerado desarrollo de las técnicas digitales, que en la práctica es un proceso donde toda la información, en última instancia, se representa a través de conjuntos ordenados de dos valores lógicos: falso o verdadero.

En términos matemáticos, el estudio de las funciones cuya variable dependiente exhibe una variación discreta constituye una especialidad, que tiene en las sumatorias y series un componente relevante.

Por consiguiente se detallaran las diferencias y características de las funciones y ecuaciones lineales y su desarrollo para su enseñanza y aprendizaje, para poder ponerlas en práctica frente a los problemas cotidiano.

Funciones Algebraicas

Las funciones algebraicas son aquellas cuya regla de correspondencia es una expresión algebraica, siendo a la vez una función que satisface una ecuación Polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios.

Una función algebraica explícita es aquella cuya variable y se adquiere combinando un número finito de veces la variable x y constantes reales a partir de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces. Entonces en las funciones explicitas es posible obtener las imágenes de x por sustitución:

f(x) = 5x – 2

Por otro lado en las funciones implícitas no es posible obtener las imágenes de x por simple sustitución, por lo cual es necesario efectuar operaciones:

5x – y – 2 = 0

Dentro de las funciones algebraicas podemos nombrar a las funciones polinómicas. Dichas funciones tienen una gran aplicación en la preparación de modelos que representan fenómenos reales, tales como la distancia recorrida por un móvil a velocidad constante, la compra de cierta cantidad de objetos a un precio unitario, el salario de un trabajador más su comisión, etc. Etc. La regla de correspondencia de la función Polinómica es un polinomio. Si el grado de un polinomio es el exponente mayor de la variable, podemos hablar de una función Polinómica de grado n.

Llamamos a una función Polinómica de grado n, si tiene la forma:

En donde n es un entero positivo.

La función constante se define por medio de la expresión:

F(x)= K

En esta función, k es un número real diferente de cero.

Las funciones polinómicas de primer grado e darían como:

f(x) = mx +n

Su gráfica sería una recta oblicua, que quedaría definida por dos puntos de la función. A este tipo de función corresponderían los tipos de funciones como, función afín, función lineal y función identidad.

La función afín es del tipo:

y = mx + n

m sería la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. Veamos un ejemplo:

La función lineal corresponde a un polinomio de primer grado cuyo contradominio coincide con el dominio, o sea con R. Su gráfica sería una línea recta donde m representa la pendiente de ella, y k representa el punto donde ésta se intercepta con el eje y”. La función lineal se definiría entonces como una expresión de la forma:

F(x)=mx+k

La función identidad tiene como propiedad, que a cada argumento x del dominio le es correspondiente el mismo valor en el contradominio, por lo cual este sería R”. La gráfica de esta función es la recta que pasa por el origen y posee un ángulo de inclinación de 45°. Observemos:

Las Funciones cuadráticas son funciones polinómicas de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. Tienen la forma:

La función cúbica se define como polinomio de tercer grado y tiene la siguiente forma:

Las funciones a trozos son funciones que se definen por distintos criterios, según los intervalos que se consideren. Dentro de estas funciones encontraríamos lo que sería la función en valor absoluto, la función parte entera de x, la función mantisa y la función signo.

En las funciones racionales el criterio viene dado por un cociente entre polinomio:

El dominio está formado por todos los números reales, a excepción de los valores de x los cuales anulan el denominador.

No siempre se puede hacer uso de las funciones del tipo algebraico, por esta razón se han desarrollado otro tipo de funciones, las funciones trascendentes, las cuales se pueden clasificar en: las trigonométricas y sus inversas y las logarítmicas y exponenciales. Una función trascendente es entonces aquella cuya variable y contiene expresiones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Ejemplos de funciones trascendentes serían los siguientes:

Tipos De Funciones:

Funciones Explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

F(x) = 5x – 2

Funciones Implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x – y – 2 = 0

Funciones Polinómicas

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

F(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +••• + anxn

Su dominio es R, es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones Constantes

El criterio viene dado por un número real.

F(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones Polinómica de Primer Grado

f(x) = mx + n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función. Son funciones de este tipo las siguientes:

Función afín:

y = mx + n

M es la pendiente de la recta.

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

Función lineal:

y = mx

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

Y = 2x

x 0 1 2 3 4

y = 2x 0 2 4 6 8

Función identidad:

y = mx

Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.

Y = 2x

x 0 1 2 3 4

y = 2x 0 2 4 6 8

Funciones Cuadráticas

f(x) = ax² + bx + c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

Funciones Racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

Funciones Radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funciones Algebraicas a Trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

Funciones en Valor Absoluto:

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4. Representamos la función resultante.

D=

Función Parte Entera de X

Es una función que a cada número real hace corresponder el número entero inmediatamente inferior.

F(x) = E(x)

x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2

f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2

Función Mantisa:

Función que hace corresponder a cada número el mismo número menos su parte entera.

F(x) = x – E(x)

x 0 0.5 0.9 1 1.5 1.9 2

f(x) = x – E(x) 0 0.5 0.9 0 0.5 0.9 0

Función signo:

f(x) = sgn(x)

Funciones Trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Funciones Exponenciales

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

Funciones Logarítmicas

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

Funciones Trigonométricas

Función seno:

f(x) = sen x

Función coseno:

f(x) = cos x

Función tangente:

f(x) = tg x

Función cosecante:

f(x) = cosec x

Función secante:

f(x) = sec x

Función cotangente:

f(x) = cotg x

Ecuaciones Lineales o De Primer Grado

Sabemos que una ecuación lineal o de primer grado es aquella que involucra solamente sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia (elevadas a uno, que no se escribe). Son llamadas lineales por que se pueden representar como rectas en el sistema cartesiano.

Se pueden presentar tres tipos de ecuaciones lineales:

a) ecuaciones lineales propiamente tales

En este tipo de ecuación el denominador de todas las expresiones algebraicas es igual a 1 (no se presentan como fracción, aunque el resultado sí puede serlo).

Para proceder a la resolución se debe:

Eliminar paréntesis.

Dejar todos los términos que contengan a “x” en un miembro y los números en el otro.

Luego despejar “x” reduciendo términos semejantes.

Ejemplo:

4x – 2(6x – 5) = 3x + 12(2x + 16)

4x – 12x + 10 = 3x + 24x + 192

4x – 12x – 3x – 24x = 192 – 10

–35x = 182

b) ecuaciones fraccionarias

En este tipo de ecuación lineal el denominador de a lo menos una de las expresiones algebraicas es diferente de 1 (es una fracción).

Para proceder a la resolución se debe:

Llevar a ecuación lineal (eliminar la fracción) multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores (m.c.m.)

Ejemplo:

m.c.m. de 2, 4 y 3 = 12

c) ecuaciones literales

Pueden ser lineales o fraccionarias. Si son fraccionarias, se llevan al tipo lineal, pero en el paso de reducir términos semejantes se factoriza por “x” para despejarla.

Ejemplo:

Conclusión

Tras el estudio de las funciones y ecuaciones lineales, podemos concluir que son muy importantes para el desarrollo de actividades diarias, para el conocimiento general ya que podemos ayudar a quienes no las conocen y ponerlas en práctica para muchas otras ciencias, como la física y la química en especial.

Se pudo observar en el desarrollo de este trabajo las diferentes funciones y ecuaciones lineales y sus característicos procedimientos para su aplicación y puesta en práctica.

Bibliografía

Ángel A. R. 1994 Álgebra elemental. Prentice Hall. México.

Barnett, R. 1995. Álgebra elemental. Serie Schaum. McGraw Hill. México

Fuentes en Internet:

http://www.ditutor.com/funciones/funcion_algebraica.html

http://matematica.laguia2000.com/general/funcion-algebraica

http://www.matematicatuya.com/NIVELACION/ECUACIONES/S1II.html

http://mialgebra.blogspot.com/2009/03/ejercicios-resueltos-de-algebra-de.html

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