Generación De Modelos De Enseñanza

Generación de modelos de enseñanza – aprendizaje en el álgebra lineal

Primera Fase: Transformaciones Lineales

Dr. Eduardo Miranda Montoya

Departamento de Matemáticas y Física

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente (ITESO): MÉXICO

emiranda@iteso.mx

Resumen: La enseñanza del álgebra lineal, en Ingeniería, reviste ciertas características muy especiales para su enseñanza y aprendizaje. En el álgebra lineal, la enseñanza de objetos como espacios vectoriales, transformaciones lineales, valores y vectores propios, etc. parte de una definición formal, sin que en la mayoría de las veces medie una motivación previa similar a lo que ocurre, por ejemplo en el cálculo Una vez que se ha dado la definición el estudiante debe aprender a usarla para demostrar las propiedades de ese objeto. Se ha detectado en algunas investigaciones que una de las dificultades del aprendizaje del álgebra lineal está en esta manera de proceder, ya que si un estudiante no comprende bien una definición entonces ese estudiante tendrá problemas para entender conceptos, resolver problemas y demostrar propiedades asociadas a esa definición ( Sierpinska, 1996, Dorier, 2002, etc.).

En algunas investigaciones en torno a los problemas en el aprendizaje del álgebra lineal se reporta que entre los orígenes de esas dificultades están los diversos lenguajes que se usan para hablar de conceptos como espacios vectoriales, transformaciones lineales, matrices, etc. (Hillel, 2000.) .El uso de estos lenguajes sin articulación son, muchas veces e origen de algunas de las dificultades para el aprendizaje de los conceptos del álgebra lineal (Sierpinska 1996)

En este trabajo se propone generar modelos de enseñanza –aprendizaje de conceptos del álgebra lineal a partir de la implementación de prácticas pedagógicas que logren articular estos lenguajes de manera dialéctica. De inicio, se comienza con un primer ejemplo para construir un modelo de enseñanza para el tema de las transformaciones lineales, concepto en donde los tres lenguajes descritos por Sierpinska están presentes.

1.- Problemas asociados con la enseñanza del Álgebra Lineal: La enseñanza y aprendizaje del álgebra lineal en ingeniería representan un conjunto de dificultades diferentes a las que se presentan, por ejemplo en el cálculo. En esta materia, es frecuente motivar la enseñanza de los conceptos a partir de otros conocimientos físicos o geométricos presentados previamente, pero en el álgebra lineal, la mayor parte de conceptos se presentan como definiciones formales de objetos cuya existencia no tiene (en la mayoría de los casos) conexión con conocimientos previos ni argumentos geométricos o físicos que motiven la definición presentada. Los problemas asociados se resuelven usando la definición dada junto con argumentos derivados de la lógica. Esto hace que muchos estudiantes sientan que la materia es demasiado abstracta y que los contenidos son objetos que no tienen relación con algo que se pueda aplicar en la realidad.

Entre los problemas relativos al aprendizaje del álgebra lineal, están las diferentes representaciones que puede tener un mismo objeto y para las cuales no resulta muy claro para un estudiante que se trata del mismo objeto. Por ejemplo en un momento dado se puede presentar al conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo como un subespacio vectorial y en otro momento ese mismo conjunto se puede presentar como el núcleo de una transformación lineal o bien es frecuente ayudarse de la geometría en R2 o R3 para visualizar la suma de vectores, pero es difícil usar la geometría para visualizar las sumas en espacios vectoriales como polinomios o matrices. El alumno se encuentra, entonces, con dos representaciones diferentes de la suma de vectores, una geométrica con una definición formal y otra enteramente formal para espacios vectoriales generales (Sierpinska, 1996).

En algunas investigaciones dedicadas al problema del aprendizaje del álgebra lineal se reporta que entre las diversas dificultades que un estudiante enfrenta para aprender la materia están la variedad de lenguajes y representaciones semióticas con los que se estudian los objetos del álgebra lineal. Entre esos lenguajes están: el lenguaje abstracto (correspondiente a la teoría general abstracta del álgebra lineal; el lenguaje algebraico de Rn y el lenguaje geométrico de R2 y R3 (Hillel, 2000).

En forma análoga, Sierpinska menciona la coexistencia de tres tipos de lenguaje: Lenguaje geométrico: el que se usa para ilustrar las representaciones y propiedades de los vectores en R2 y R3; Lenguaje aritmético: usado para describir las operaciones entre matrices, soluciones de ecuaciones, etc. y Lenguaje algebraico: usado para formalizar y simbolizar entes como espacios vectoriales, transformaciones lineales, etc. (Sierpinska, 1996), A su vez, cada uno de estos tipos de lenguaje desarrolla, en forma correspondiente los siguientes tipos de pensamiento necesarios para que un estudiante pueda entender la materia: Pensamiento sintético geométrico: Este tipo de pensamiento se da en una persona, por ejemplo, cuando se piensa en las posibles colocaciones de rectas o planos en R2 o R3 que representan las posibles soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Pensamiento aritmético - analítico: Siguiendo con el ejemplo anterior, si la persona examina el problema en términos de los posibles resultados después de haber reducido la matriz respectiva, se está en el modo de pensamiento aritmético analítico. Pensamiento analítico estructural: Cuando se piensa el problema anterior en términos de las propiedades de las matrices invertibles o no invertibles o de los determinantes del sistema.

La autora afirma que algunas de las dificultades en el aprendizaje de los conceptos de la asignatura tienen que ver con la falta de una práctica instruccional que articule estos lenguajes y que la desarticulación puede deberse a los contenidos propician la coexistencia de esos lenguajes como modos de pensamiento que algunas veces son intercambiables pero que nos son equivalentes. Entonces un estudiante podría entender un problema o concepto solo desde el punto de vista geométrico sin que eso implique que pueda pasar del lenguaje geométrico al lenguaje algebraico para resolver completamente un problema.

Por su parte, Dorier encuentra en la epistemología del álgebra lineal que la axiomatización de la materia solo es útil para agrupar los conceptos

...