INTEGRAL DEFINIDA Y SUS PROPIEDADES

CAPÍTULO I

INTEGRAL DEFINIDA Y SUS PROPIEDADES

1.1. Definición:

La integral definida, es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función.

Se tiene dos puntos acerca de la integral definida. Primero, la integral definida es el límite de una suma de la forma ∑▒〖f(x)∆x〗. De hecho, podemos pensar el signo de la integral como una “s” alargada, que es la primera letra de la “sumatoria”. Segundo, para una función f arbitraria definida en un intervalo, podemos calcular las sumas y determinar su límite común en caso de que exista. Sin embargo, algunos términos de las sumas pueden ser negativos si f(x) es negativa en puntos del intervalo. ( Haeussler y Paul, 1997, pág. 757).

De esta manera se encontrará quela integral definida es un número real no es otra cosa que un número real y puede o no representar un área.

1.2 Notación:

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

∫_a^b▒f(x)dx

Sea f(x) una función con una antiderivada que se denotará por F(x).Seana y b dos números reales tales que f(x) y F(x) existen para todos los valores de x en el intervalo cerrado con puntos extremos a y b. Entonces la integral definida de f(x) de x=aax=b se denota por ∫_a^b▒f(x)dx y se define por:

∫_a^b▒〖f(x)dx=F(b)-f(a) 〗

Los números a y b se denominan los límites de integración, a es el límite inferior y b es el límite superior. Por lo regular a<b, pero esto no es esencial.

Cuando se evalúa una integral definida, se acostumbra utilizar por conveniencia unos paréntesis rectangulares grandes en el lado derecho, de la manera siguiente:

∫_a^b▒〖f(x)dx=[F(x)] b¦a=F(b)-F(a)〗

Por lo que se lee esto como la integral definida de f(x) de x=aax=b es F(x) en b menos F(x) en a. En cuanto a la notación de paréntesis que aparece en medio significa que la función dentro de ellos debe evaluarse en los dos valores del argumento que aparecen después de los paréntesis. (Arya y Lardner, 1992).

Al evaluar integrales definidas, omitimos la constante de integración de la antiderivada de f(x) porque esta constante de integración se cancela en la respuesta final. Sea F(x) + C cualquier antiderivada de f(x), en donde C es la constante de integración.

Luego, por la definición anterior:

∫_a^b▒〖f(x)dx=[F(x)+C] b¦a〗

∫_a^b▒〖f(x)dx=[F(b)+C]-[F(a)+C] 〗

∫_a^b▒〖f(x)dx=F(b)-F(a)〗

Y “C” ha desaparecido de la respuesta.

Figura 1, Región Limitada por f(x)=2x, y=0 y x=1

La figura 1 muestra la región R limitada por la lineasy=f(x)=2x,y=0 (el eje x) y x=1. Se trata simplemente de un triángulo rectángulo. Si b y h son las longitudes de la base y de la altura, respectivamente, entonces el área A del triangulo es A=1/2 bh=1/2 (1)(2)=1 unidad cuadrada. Encontraremos ahora tal área por otro método que, como veremos después, es aplicable a regiones más complejas. Este método implica la suma de áreas de rectángulos.

1.3 Propiedades de las integrales:

Las propiedades de las integrales definidas tienen con fin poder realizar una evaluación más factible al evaluar cada una de ellas.

La definición de la integral definida de f en el intervalo [a.b] específica que a<b. Ahora es conveniente, sin embargo extender la definición para cubrir casos en los cuales a=b ó a>b. Geométricamente, las siguientes dos definiciones parecen razonables. Por ejemplo, tiene sentido definir el área de una región de ancho cero y altura finita igual a cero.(Edwars, 2009, pág. 101)

1.3.1. Teorema1: Definiciones de dos integrales definidas especiales:

Si f está definida en x=a, entonces se define ∫_a^a▒〖f(x) dx〗=0.

Ejemplo:Debido a que la función seno se define en x = π, y los límites superior e inferiores de integración son iguales, puede decir que:∫_( π)^( π)▒sin⁡〖x dx〗 =0.

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