APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INGENIERIA CIVIL

TITULO

APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INGENIERIA CIVIL

ASIGNATURA

MATEMATICA III

TUTOR

ING.MIGUEL ENRIQUE UCAÑAN DIAZ

INTEGRANTES

CARDENAS FLORES OLMEDO

TUESTA VILLACORTA GEAN CARLOS

GONZALES QUINCHO LUIS

TARAPOTO - PERU

“El ingeniero civil nunca muere, por sus obras se mantiene en el tiempo”.

DEDICATORIA

Dedicamos este trabajo a nuestras familias por el apoyo incondicional que nos brindan durante todas las etapas de nuestras vidas particularmente en esta. Al docente por sus enseñanzas y sus sabios conocimientos, que de ellos aprendemos día a día, donde cada clase enriquecemos con dedicación y esfuerzo mis conocimientos.

AGRADECIMIENTO

INTRODUCCION

Demostrar cómo las ecuaciones diferenciales pueden ser útiles en la solución de variados tipos de problemas-en particular, mostrar cómo traducir problemas a un lenguaje de ecuaciones diferenciales, esto es, establecer la formulación matemática de problemas; resolver la ecuación diferencial resultante sujeta a condiciones dadas; y interpretar las soluciones obtenidas. Problemas elementales de muchos campos diferentes e importantes se explican en relación a su formulación matemática, solución, e interpretación. Las aplicaciones están ordenadas de modo tal que los estudiantes de ingeniería civil puedan desarrollar y aplicar en la carrera estas ecuaciones.

ÍNDICE

EPÍGRAFE………………………………………..……………………………….………II

DEDICATORIA……………………………………..…………………………….………III

AGRADECIMIENTO………………………………..………………………..….………IV

INTRODUCCIÓN…………………………………………….………………………….V

CAPÍTULOI: ANTECEDENTES..........………………..............................................7

1.1 TEORIAOBRE LAS CUACONES DIFERENCILES….……….…….8

1.2 ECUACIONES DFERENCIALES ORDINARIA……………….…... 10

1.3 ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES…..………………..13

CAPÍTULO II: RESORTE VIBRANTE………………………………………………15

2.1 EL RESORTE VIBRANTE. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE…16

2.2. EJEMPLO……………………………………………………………........19

CAPÍTULO III: PENDULO SIMPLE …………………………..….…….……………20

3.1 CONCEPTOS BASICOS……………………………...….……….…………..21

3.2 OSCILACIÓN - AMPLITUD - PERÍODO Y FRECUENCIA …….…………21

3.3 RELACION ENTRE PERIODO Y FRECUENCIA …………………………22

3.4 APLICADO A LA INGENIERIA……………………..……………………...24

VI. CONCLUSIÓN……………..…………………………………….….……………..…...25

VII. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS………………………………..……..… 26

CAPITULO I

CONCEPTO BASICOS DEL TRABAJO

1.1. Teoría sobre las Ecuaciones Diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Aquéllas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

Ecuaciones en derivadas parciales

Aquéllas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

ALGUNOS EJEMPLOS DE ECACIONES DIFERENCIALES SON:

• es una ecuación diferencial ordinaria, donde

es la variable dependiente, la variable independiente,

es la derivada de con respecto a .

• La expresión es una ecuación en derivadas parciales.

A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).

ORDEN Y GRADO DE UNA ECUACION DIFERENCIAL

 Orden de la ecuación

El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se llama orden de la ecuación

 Grado de la ecuación

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

EJEMPLOS:

-

1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Las ecuaciones diferenciales ordinarias se distinguen de las ecuaciones diferenciales parciales, las cuales involucran derivadas parciales de varias variables.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias son importantes en diversas áreas de estudio como la geometría, mecánica y astronomía, además de muchas otras aplicaciones.

Soluciones analíticas

Existen métodos de resolución generales para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales que permiten encontrar soluciones analíticas. En particular silos coeficientes de la ecuación lineal son constantes o periódicos la solución es casi siempre fácil de construir. Para coeficientes no constantes o no periódicos, pero que son desarrollables enserie de Taylor o serie de Laurent es aplicable conciertas restricciones el método de Frobenius .

Para las ecuaciones diferenciales ordinarias no-lineales no existen métodos generales

Soluciones numéricas

Algunos de los métodos de solución numérica de ecuaciones diferenciales son el método de Runge-Kutta,los métodos multipaso y los métodos de extrapolación.

 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Una ecuación diferencial de primer orden con la condición inicial se expresa de la siguiente forma:

Entre los tipos de EDOs de primer orden se encuentran:

 Ecuación de variables separables

Son EDOs de la forma:

 Ecuación exacta

Una ecuación de la forma:

|

 Ecuación lineal

Una ecuación diferencial es lineal si presenta la forma:

Y que tienen por solución:

 Ecuación de Bernoulli.

Una ecuación diferencial de Bernoulli, que es a su vez una generalización dela ecuación diferencial lineal, fue formulada por Jakob Bernoulli y resuelta por su hermano ,Johann Bernoulli y presenta la forma:

 Ecuación de Riccati

Una ecuación diferencial tiene la forma de la introducida por Jacobo Francesco Riccati cuando presenta la estructura:

 Ecuación de Lagrange

Una ecuación diferencial de Lagrange presenta la forma:

 Ecuación de Clairaut

Una ecuación diferencial de Clairaut, llamada así en honor a Alexis-Claude Clairaut, tiene la forma:

1.3 ECUACION DIFERENCAILES PARCIALES

En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP)es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t ….y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, el electro dinámico, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros.

Una ecuación en derivadas parciales (EDP) para la función tiene la siguiente forma.

o Una ecuación en derivadas parciales muy simple puede ser:

o Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferenciales:

Solución general y solución completa

Toda ecuación en derivadas parciales de primer orden posee una solución dependiente de una función arbitraria, que se denomina usualmente solución general de la EDP. En muchas aplicaciones físicas esta solución general es menos importante que las llamadas soluciones completas.

Una solución completa es una solución particular de la EDP que contiene tantas constantes arbitrarias independientes como variables

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