MATEMATICA

 Que son los Números Complejos y de Ejemplo:

Los Números Complejos surgen al resolver ecuaciones algebraicas en las que hay que calcular raíces cuadradas de números negativos. Un número complejo es una combinación de un número real y un número imaginario.

Ejemplos:

1 + i 12 - 3.1i -0.85 - 2i π + πi √2 + i/2

¿Un número que es una combinación de dos números?

¿Puedes hacer un número combinando a partir de otros dos? ¡Claro que puedes!

Lo haces todo el tiempo en las fracciones. La fracción 3/8 es un número hecho de un 3 y un 8. Sabemos que significa "3 de 8 partes iguales".

Pues bien, un número complejo es simplemente dos números sumados juntos (uno real y uno imaginario).

Cero

Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria.

Pero cualquiera de las dos puede ser 0, así que los números reales y los imaginarios son también números complejos.

Número complejo Parte real Parte imaginaria

3 + 2i 3 2

5 5 0

-6i 0 -6

 Forma Polar y Vinomica de un Numero Complejo y Ejemplo:

*Un número complejo en forma polar consta de dos componentes: módulo y argumento.

-Módulo de un número complejo

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

-Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).

*Un número complejo en forma binómica es a + bi. El número a es la parte real del número complejo. El número b es la parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real, ya que a + 0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

-Ejemplos de la forma polar a la forma binómica:

z = 2120º

Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma trigonométrica: ¥comprobar vínculo

z = rα = r (cos α + i sen α)

 Suma de dos Números Complejos y sus Propiedades. Y Ejemplo:

La suma de números complejos se realiza sumando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

-Ejemplo:

( a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

( 5 + 2 i) + ( −8 + 3 i) =

= (5 − 8) + (2 + 3)i = −3 + 5i

-Propiedades de la suma de números complejos.

La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:

· Conmutativa:

Dados dos números complejos a + b.i y c + d.i se tiene la igualdad:

(a + b.i) + (c + d.i) = (c + d.i) + (a + b.i)

Ejemplo:

(2 - 3 i) + (-3 + i) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2 i

(-3 + i) + (2 - 3 i) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2 i

· Asociativa:

Dados tres complejos a + b.i, c + d.i y e + f.i , se cumple:

[(a + b.i) + (c + d.i)] + (e + f.i) = (a + b.i) + [(c + d.i) + (e + f.i)]

Ejemplo:

(5 + 2 i) + (3 - 4 i)] + (-9 + 8 i) = (8 - 2 i) + (-9 + 8 i) = -1 + 6 i

(5 + 2 i) + [(3 - 4 i) + (-9 + 8 i)] = (5 + 2 i) + (-6 + 4 i) = -1 + 6 i

· Elemento neutro:

El elemento neutro es 0 + 0 i, puesto que

(a + b.i) + (0 + 0 i) = (a + 0) + i (b + 0) = a + b.i

El número 0 + 0 i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».

· Elemento simétrico:

El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + b.i es (- a - b.i):

(a + b.i) + (-a - b.i) = 0 + 0 i= 0

Ejemplo:

El simétrico de 2 - 3 i es -2 + 3.i pues (2 - 3 i) + (-2 + 3 i) = 0

 Multiplicación de Números Complejos y sus Propiedades. Y Ejemplo:

La multiplicación se efectúa igual que si fuesen números reales, pero teniendo en cuenta que la multiplicación de complejos no es equivalente al producto escalar de vectores.

*Ejemplo:

Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su producto como:

(a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i

El producto puede hacerse operando con i como si fuese un número real y teniendo en cuenta que i 2 = -1.

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac

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