MATEMATICAS LA RECTA

Sabemos que la geometría analítica estudia las formas o figuras geométricas basadas en ecuaciones y coordenadas definidas sobre un Plano Cartesiano.

Pues bien, una parábola es una forma geométrica.

Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación, cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son:

Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría).

Eje focal (o de simetría) (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos y pasa por el vértice.

Foco (F): Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice.

Directriz (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la parábola.

Distancia focal (p): Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales).

Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola.

Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco.

Lado recto (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.

Para ilustrar las definiciones anteriores, veamos la siguiente gráfica de una parábola:

En el Plano Cartesiano una parábola puede tener su vértice en cualquier par de coordenadas y puede estar orientada hacia arriba, hacia abajo o hacia la izquierda o la derecha.

Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen

Primeramente, estudiaremos la ecuación de la parábola para los casos en que su vértice esté en el origen (coordenadas (0, 0) delPlano Cartesiano), y según esto, tenemos cuatro posibilidades de ecuación y cada una es característica.

Para iniciar nuestra explicación empezaremos con la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje focal o de simetría coincide con el eje de las X (abscisas) y que está orientada (se abre) hacia la derecha.

Por definición, sabemos que, en una parábola la distancia entre un punto “P” (no confundir con el “parámetro p”), cualquiera de coordenadas (x, y), y el foco “F” será igual a la distancia entre la directriz (D) y dicho punto, como vemos en la figura:

De lo anterior resulta:

(trazo PD igual al trazo PF)

El trazo PD nace en el punto (x, y) y termina en el punto (–p, y) y podemos usar la fórmula para calcular distancia entre dos puntos:

El trazo PF nace en el punto (x, y) y termina en el punto (p, 0), y también podemos usar la fórmula para calcular la distancia entre ellos:

Sustituyendo en la expresión de distancias resulta:

Elevando ambos miembros de la ecuación al cuadrado y desarrollando, se tiene:

(x + p)2 = (x – p)2 + y2

x2 + 2px + p2 = x2 – 2px + p2 + y2

x2 + 2px + p2 – x2 + 2px – p2 = y2

Simplificando términos semejantes y reordenando la expresión, se obtiene:

y2 = 4px

que es ecuación de la parábola en su forma ordinaria o canónica.

Esta ecuación

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