MEDIDAS DE DISPERSION

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (varianza).

VARIANZA

En teoría de probabilidad, la varianza (que suele representarse como ) de una variable aleatoria es una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media.

Está medida en unidades distintas de las de la variable. Por ejemplo, si la variable mide una distancia en metros, la varianza se expresa en metros al cuadrado. La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza, es una medida de dispersión alternativa expresada en las mismas unidades de los datos de la variable objeto de estudio. La varianza tiene como valor mínimo 0.

Hay que tener en cuenta que la varianza puede verse muy influida por los valores atípicos y no se aconseja su uso cuando las distribuciones de las variables aleatorias tienen colas pesadas. En tales casos se recomienda el uso de otras medidas de dispersión más robustas.

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

La varianza se representa por .

VARIANZA PARA DATOS AGRUPADOS

Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Ejercicios de varianza

Ejercicio 1:

Calcular la varianza de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Ejercicio 2:

Calcular la varianza de la distribución de la tabla:

xi fi xi • fi xi2 • fi

[10, 20) 15 1 15 225

[20, 30) 25 8 200 5000

[30,40) 35 10 350 12 250

[40, 50) 45 9 405 18 225

[50, 60 55 8 440 24 200

[60,70) 65 4 260 16 900

[70, 80) 75 2 150 11 250

42 1 820 88 050

PROPIEDADES DE LA VARIANZA

1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Si las muestras tienen distinto tamaño:

Observaciones sobre la varianza

1 La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza.

3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado.

DESVIACIÓN TÍPICA

La desviación típica o desviación estándar (denotada con el símbolo σ o s, dependiendo de la procedencia del conjunto de datos) es una medida de dispersión para variables de razón (variables cuantitativas o cantidades racionales) y de intervalo. Se define como la raíz cuadrada de la varianza de la variable.

Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que presentan los datos en su distribución respecto de la media aritmética de dicha distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la realidad al momento de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones.

INTERPRETACIÓN Y APLICACIÓN

La desviación típica es una medida del grado de dispersión de los datos con respecto al valor promedio. Dicho de otra manera, la desviación estándar es simplemente el "promedio" o variación esperada con respecto a la media aritmética.

La desviación estándar puede ser interpretada como una medida de incertidumbre. La desviación estándar de un grupo repetido de medidas nos da la precisión de éstas. Cuando se va a determinar si un grupo de medidas está de acuerdo con el modelo teórico, la desviación estándar de esas medidas es de vital importancia: si la media de las medidas está demasiado alejada de la predicción (con la distancia medida en desviaciones estándar), entonces consideramos que las medidas contradicen la teoría. Esto es coherente, ya que las mediciones caen fuera del rango de valores en el cual sería razonable esperar que ocurrieran si el modelo teórico fuera correcto. La desviación estándar es uno de tres parámetros de ubicación central; muestra la agrupación de los datos alrededor de un valor central (la media o promedio).

DESGLOSE

La desviación estándar (DS/DE), también llamada desviación típica, es una medida de dispersión usada en estadística que nos dice cuánto tienden a alejarse los valores concretos del promedio en una distribución. De hecho, específicamente, el cuadrado de la desviación estándar es "el promedio del cuadrado de la distancia de cada punto respecto del promedio". Se suele representar por una S o con la letra sigma, .

La desviación estándar de un conjunto de datos es una medida de cuánto se desvían los datos de su media. Esta medida es más estable que el recorrido y toma en consideración el valor de cada dato.

Distribución de probabilidad continúa

Es posible calcular la desviación estándar de una variable aleatoria continua como la raíz cuadrada de la integral

donde

Distribución de probabilidad discreta

La Desviación Estándar es la raíz cuadrada de la varianza de la distribución de probabilidad discreta:

Cuando los casos tomados son iguales al total de la población se aplica la fórmula de desviación estándar poblacional. Así la varianza es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la variable y la media aritmética de la distribución.

Aunque esta fórmula es correcta, en la práctica interesa el realizar inferencias poblacionales, por lo que en el denominador en vez de , se usa según la corrección de Bessel. Esta ocurre cuando la media de muestra se utiliza para centrar los datos, en lugar de la media de la población. Puesto que la media de la muestra es una combinación lineal de los datos, el residual a la muestra media se extiende más allá del número de grados de libertad por el número de ecuaciones de restricción —en este caso una—. Dado esto a la muestra así obtenida de una muestra sin el total de la población se le aplica esta corrección con la fórmula desviación estándar muestral.

Ejemplo

Aquí se muestra cómo calcular la desviación estándar de un conjunto de datos. Los datos representan la edad de los miembros de un grupo de niños: { 4, 1, 11, 13, 2, 7 }

1. Calcular el promedio o media aritmética .

.

En este caso, N = 6:

Sustituyendo N por 6

2. Calcular la desviación estándar

Sustituyendo N por 6;

Sustituyendo por 6,33

.

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.

La desviación típica se representa por σ.

Desviación típica para datos agrupados

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

Ejercicios de desviación típica

Ejercicio 1:

Calcular la desviación típica de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Ejercicio 2:

Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:

xi fi xi • fi xi2 • fi

[10, 20) 15 1 15 225

[20, 30) 25 8 200 5000

[30,40) 35 10 350 12 250

[40, 50) 45 9 405 18 225

[50, 60) 55 8 440 24 200

[60,70) 65 4 260 16 900

[70, 80) 75 2 150 11 250

42 1 820 88 050

Propiedades de la desviación típica

1 La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación típica queda multiplicada por dicho número.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Si las muestras tienen distinto tamaño:

Observaciones sobre la desviación típica

1 La desviación típica, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación típica.

3 Cuanta más pequeña sea la desviación típica mayor será la concentración de datos alrededor de la media.

DESVIACIÓN RESPECTO A LA MEDIA

La desviación respecto a la media es la diferencia en valor absoluto entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética.

Di = |x - x|

Desviación media

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

La desviación media se representa por

Ejemplo:

Calcular la desviación media de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Desviación media para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:

Ejemplo:

Calcular la desviación media de la distribución:

xi fi xi • fi |x -x| |x - x| • fi

[10, 15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858

[15, 20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43

[20, 25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998

[25, 30) 27.5 4 110 5.714 22.856

[30, 35) 32.5 2 65 10.714 21.428

21 457.5 98.57

RANGO ESTADÍSTICO

El rango o recorrido interarticular es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo en un grupo de números aleatorios. Se le suele simbolizar con R'.

Obtención del rango

Ordenamos los números según su tamaño.

Restamos el valor mínimo del valor máximo

Ejemplo

Para la muestra (8, 7, 6, 9, 4, 5), el dato menor es 4 y el dato mayor es 9. Sus valores se encuentran en un rango de:

Medio rango o Rango medio

El medio rango o rango medio de un conjunto de valores numéricos es la media del mayor y menor valor, o la tercera parte del camino entre el dato de menor valor y el dato de mayor valor. En consecuencia, el medio rango es:

Ejemplo

Para una muestra de valores (3, 3, 5, 6, 8), el dato de menor valor Min= 3 y el dato de mayor valor Max= 8. El medio rango resolviéndolo mediante la correspondiente fórmula sería:

Representación del medio rango:

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media.

El coeficiente de variación se suele expresar en porcentajes:

El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que sus medias sean positivas.

Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan entre sí.

La mayor dispersión corresponderá al valor del coeficiente de variación mayor.

Ejercicio:

Una distribución tiene x = 140 y σ = 28.28 y otra x = 150 y σ = 24. ¿Cuál de las dos presenta mayor dispersión?

La primera distribución presenta mayor dispersión.

HALLAR LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA EL SIGUIENTE CONJUNTO DE DATOS.

1,3,5,2,2,3,3,1,3,2,3

Hallar rango

Ordenamos los datos de menor a mayor

1,1,2,2,2,3,3,3,3,3,5

R= (5-1)= 4

Hallar media aritmética

1,3,5,2,2,3,3,1,3,2,3

X~= 1+3+5+2+2+3+3+1+3+2+3 =

11

X~= 28 = 2,54

11

Hallar desviación media

Dx~ = |1-2,54|+|3-2,54|+|5-2,54|+|2-2,54|+|2-2,54|+|3-2,54|+|3-2,54|+|1-2,54|+|3-2,54|+|2-2,54|+|3-2,54|

11

Dx~ = |-1,54|+|0,46|+|2,46|+|-0,54|+|-0,54|+|0,46|+|0,46|+|-1,54|+|0,46|+|-0,54|+|0,46|

11

Dx~= 1,54+0,46+2,46+0,54+0,54+0,46+0,46+1,54+0,46+0,54+0,46

11

Dx~= 9,46 = 0,86

11

Hallar deviación estándar o típica

Media X~ = 1+3+5+2+2+3+3+1+3+2+3 =

11

X~= 28 = 2,54

11

Desviación estándar o típica

σ=√((1-2,54)^2+(3-2,54)^2 )+(5-2,54)^2+(2-2,54)^2+(2-2,54)^2+(3-2,54)^2+(3-2,54)^2+(1-2,54)^2+(3-2,54)^2+(2-2,54)^2+(3-2,54)^2

11

σ= √((-1,54)^2+(0,46)^2+(2,46)^2 )++(-0,54)^2+(-0,54)^2+(0,46)^2+(0,46)^2+(-1,54)^2+(0,46)^2+(-0,54)^2+(0,46)^2

11

σ=√(█(2,37+0,2116+6,05+0,2916+0,2916+0,2116+0,2116+2,37+0,2116+0,2916+0,2116@11))

σ= √(█(12,72@11)) =

σ= √1,15 = 1,07

Hallar varianza

Calcular la varianza de la distribución:

1,3,5,2,2,3,3,1,3,2,3

X~= 1+3+5+2+2+3+3+1+3+2+3

11

X~= 28 = 2,54

11

σ2=(〖(1-2,54)〗^2+〖(3-2,54)〗^2+〖(5-2,54)〗^2+〖(2-2,54)〗^2+〖(2-2,54)〗^2+〖(3-2,54)〗^2+〖(3-2,54)〗^2+〖(1-2,54)〗^2+〖(3-2,54)〗^2+〖(2-2,54)〗^2+〖(3-2,54)〗^2+)/11

σ2= (〖(-1,54)〗^2+〖(0,46)〗^2+〖(2,46)〗^2+〖(-0,54)〗^2+〖(-0,54)〗^2+〖(0,46)〗^2+〖(0,46)〗^2+〖(-1,54)〗^2+〖(0,46)〗^2+〖(-0,54)〗^2+〖(0,46)〗^2)/11

σ2= (2,37+0,2116+6,05+0,2916+0,2916+0,2116+0,2116+2,37+0,2116+0,2916+0,2116)/11

σ2= 12,72/11= 1,15

Hallar coeficiente de variación

CV= 1,07/2,54*100 =

CV= 0,4212*100 = 42,12%

A CONTINUACIÓN SE PRESENTA LA TABLA DE FRECUENCIA DE LOS PESOS EN KG DE 82 ESTUDIANTES QUE PRACTICAN LUCHA LIBRE OLÍMPICA

Pesos kg Xi marca de clase Frecuencia absoluta Fi*xi |xi-x~| Fi |xi-x~|

40-49,9 44,95 13 584,35 19,39 252,07

50-59,9 54,95 21 1153,95 9,39 197,19

60-69,9 64,95 17 1104,15 0,61 10,37

70-79,9 74,95 20 1499 10,61 212,2

80-89,9 84,95 11 934,45 20,61 226,71

82 5275,9 898,54

R= 89,9-40= 49,9

R= 49,9

Media aritmética

X= (Σfi.xi)/Σfi

X= 5275,9/82 = 64,34

Desviación media para datos agrupados

DM= = 898,54/82=10,95

Hallar desviación estándar o típica para datos agrupados

σ=√((19,39)^2 13+(9,39)^2 ) 21+(0,61)^2 17+(10,61)^2 20+(20,61)^2 11

82

σ=√((375,9)13+(88,1))21+(0,3721)17+(112,57)20+(424,77)11

82

σ=√(4886,7+1850,1+6,3257+2251,4+4672,47)

82

σ=√13666,9957

82

σ=√166,67

σ=12,91

Hallar varianza para datos agrupados

S^2=(Σ(〖xi-x~)〗^2 fi)/n

S^2=((〖44,95-64,34)〗^2 13+(〖54,95-64,34)〗^2 21+(64,95-64,34)^2 17+(74,95-64,34)^2 20+〖(84,95-64,34)〗^2 11)/82

(S^2=(〖-19,39)〗^2 13+(-9,39)^2 21+(0,61)^2 17+(10,61)^2 20+〖(20,61)〗^2 11)/82

(S^2=(〖375,97)〗^ 13+(88,17)^ 21+(0,3721)^ 17+(112,57)^ 20+〖(424,77)〗^ 11)/82

S^2=(4887,61+1851,57+6,3257+2251,4+4672,47)/82

S^2=13669,3757/82

S^2=166,69

Hallar coeficiente de variación

CV= σ *100

S^2

CV= 12,91/64,34*100

CV= 0,2006 * 100= 20,06

...