Matamatica Los Numeros Reales

INTRODUCCIÓN.

A continuación, se le presenta el trabajo de conceptos fundamentales, de la unidad 1 de matemáticas. En la cual damos a conocer los siguientes temas.

Los números reales. El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo, y la división por cero.

Exponentes y radicales. La potencia de un número es el producto de varios factores iguales a él.

El número que se multiplica por si mismo se llama base de la potencia.

Para señalar potenciación se escribe la base y en su parte superior derecha se escribe un número pequeño que indica cuántas veces se toma como factor dicha base; este número pequeño recibe el nombre de exponente. La radicación es la operación inversa de la potenciación y permite hallar la base correspondiente conociendo las potencias y el exponente.

El radicando también recibe el nombre de subradical.

Expresiones algebraicas. Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

Expresiones fraccionarias. Definición. Se llama expresión algebraica fraccionaria o simplemente fracción algebraica, al cociente indicado de dos expresiones algebraicas enteras dadas en un cierto orden. La primera expresión se llama numerador, la segunda denominador y ambos, términos de la fracción.

Ecuaciones desiguales. Una inecuación o desigualdad es lo mismo que una ecuación pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.

NÚMEROS REALES.

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por .

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo, y la división por cero.

La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

Representación de los números reales.

Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.

EXPONENTES Y RADICALES.

POTENCIAS.

La potencia de un número es el producto de varios factores iguales a él.

El número que se multiplica por si mismo se llama base de la potencia.

Para señalar potenciación se escribe la base y en su parte superior derecha se escribe un número pequeño que indica cuántas veces se toma como factor dicha base; este número pequeño recibe el nombre de exponente.

LEYES DE LOS EXPONENTES:

RADICACIÓN.

La radicación es la operación inversa de la potenciación y permite hallar la base correspondiente conociendo las potencias y el exponente.

El radicando también recibe el nombre de subradical.

LEYES DE RADICACIÓN.

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES.

El exponente fraccionario y las leyes de radicales se utilizan para hacer algunos cambios en los radicales, como son:

.Sacar factores del radical.

•Introducir un factor al radical.

•Racionalización de denominadores.

•Expresar un radical como otro de orden (índice) menor.

Obtener factores del radical

Para simplificar un radical, se descompone o factoriza el radicando en factores cuyos exponentes sean múltiplos del índice. Las raíces de estos factores se escriben fuera del radical y los factores “sobrantes” forman el nuevo radicando.

Es decir, simplificar un radical es reducirlo a su más simple expresión, para esto sacamos del radical los factores que sea posible, racionalizamos y expresamos el radical como otro de índice menor.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES.

Radicales semejantes

Son aquellos radicales que tienen el mismo índice de la raíz y el mismo radicando, sólo difieren en el signo y el coeficiente

Para efectuar operaciones de suma y resta algebraica de radicales, previamente los radicales deben simplificarse. La suma algebraica de radicales semejantes es un radical del mismo grado, cuyo coeficiente resulta de suma algebraica de los coeficientes numéricos.

En los siguientes ejemplos, se muestra la suma de radicales semejante:

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES

Cuando se tienen radicales del mismo índice, se utiliza la ley de los radicales:

Ejemplos:

Cuando se tienen radicales de distinto índice:

En este caso, los radicales se reducen al mínimo común índice y se multiplican como en el caso descrito anteriormente.

La reducción de los radicales al mínimo común índice requiere obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m) de los índices, que será el índice común; posteriormente, se eleva la cantidad del subradical a la potencia que resulta de dividir el índice común entre el índice del subradical.

Para multiplicar un radical por una expresión que contiene más de un término o dos expresiones radicales, cada una con más de un término, se aplica la metodología o proceso empleado en la multiplicación de polinomios.

DIVISIÓN DE RADICALES.

Cuando se tienen radicales del mismo índice, se utiliza la ley de los radicales:

Cuando se tienen radicales de diferente índice: Se expresan los radicales en forma exponencial, y posteriormente se aplican las propiedades de los exponentes.

RACIONALIZACIÓN DEL DENOMINADOR.

Las operaciones con fracciones que contienen un radical en el denominador se facilitan si antes de trabajar con ellas se racionaliza el denominador.

Racionalizar el denominador Es un procedimiento que consiste en transformar una fracción que contiene un radical en el denominador en otra fracción equivalente que no contenga ningún radical en el denominador.

Los casos que se pueden presentar en la simplificación de estas expresiones son:

CASO 1. Cuando el radicando es una fracción cuyo denominador es un monomio de la forma, o si el denominador de una fracción tiene un radical como factor.

En este caso, se multiplica el numerador y el denominador por y se simplifica la expresión que resulta.

CASO 2. Cuando el radicando es una fracción cuyo denominador es un binomio que contiene radicales de índice 2.

En este caso, para racionalizarlo se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado de la expresión de dicho denominador.

Expresiones algebraicas.

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

Ejemplo: Expresión algebraica

Expresa el perímetro y el área de un terreno rectangular.

Si suponemos que mide metros de largo e metros de ancho, tenemos que:

Perímetro= 2x+2y

Área

Tipos de expresiones algebraicas

Hay distintos tipos de expresiones algebraicas.

Dependiendo del número de sumandos, tenemos: monomios (1 sumando) y polinomios (varios sumandos).

Algunos polinomios tienen nombre propio: binomio (2 sumandos), trinomio (3 sumandos)

Dos expresiones algebraicas separadas por un signo Se llama ecuación.

Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la igualdad son equivalentes.

Ejemplos:

Monomios:

Polinomios: (binomio), (trinomio)

Ecuaciones:

Identidades:

Valor numérico de una expresión algebraica

Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras por números y se realiza la operación indicada se obtiene un número que es el valor numérico de la expresión algebraica para los valores de las letras dados.

Expresiones algebraicas fraccionarias.

Definición. Se llama expresión algebraica fraccionaria o simplemente fracción algebraica, al cociente indicado de dos expresiones algebraicas enteras dadas en un cierto orden.

La primera expresión se llama numerador, la segunda denominador y ambos, términos de la fracción.

El cociente indicado de que se hable en la definición anterior, es el valor numérico del dividendo por el valor numérico del divisor, para cada sistema de valores dados a sus letras, siempre que dichos valores no anulen al denominador, pues en tal caso ese cociente carecería de sentido.

Siendo necesario para el estudio de las fracciones algebraicas daremos la siguiente:

DEFINICIÓN. - Se dice que dos fracciones algebraicas son iguales cuando lo son sus valores numéricos para cualquier sistema de valores dados a sus letras, siempre que dichos sistemas no anulen a sus denominadores.

2. Simplificación de fracciones algebraicas. – Simplificar una fracción algebraica, significa encontrar otra fracción igual a la dada, cuyos términos

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