Matematica

UNIDAD II

TEORÍA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.1

Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática.

El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana, de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES

Es cualquiera de los números que se usan para contar y ordenar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.Por ejemplo, para contar los habitantes de un país.

El conjunto de los números naturales se representa con el símbolo N, y se escribe N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,..}. Este es un conjunto infinito porque, dado un numero natural, siempre es posible encontrar su consecutivo.

Operaciones con números naturales

Suma o adición de números naturales

a + b = c

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

Propiedades de la suma

1.Interna: a + b

2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

5 + 5 = 2 + 8

10 = 10

3.Conmutativa: a + b = b + a

2 + 5 = 5 + 2

7 = 7

4. Elemento neutro: a + 0 = a

3 + 0 = 3

Resta o sustracción de números naturales

a - b = c

Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.

Propiedades de la resta

1. No es una operación interna

2 − 5

2. No es Conmutativa

5 − 2 ≠ 2 − 5

Mutiplicación de números naturales

a • b = c

Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

Propiedades de la multiplicación

1. Interna: a • b

2. Asociativa: (a • b) • c = a • (b • c)

(2 • 3) • 5 = 2• (3 • 5)

6 • 5 = 2 • 15

30 = 30

3. Conmutativa: a • b = b • a

2 • 5 = 5 • 2

10 = 10

4. Elemento neutro: a • 1 = a

3 • 1 = 3

5. Distributiva: a • (b + c) = a • b + a • c

2 • (3 + 5) = 2 • 3 + 2 • 5

2 • 8 = 6 + 10

16 = 16

6. Sacar factor común: a • b + a • c = a • (b + c)

2 • 3 + 2 • 5 = 2 • (3 + 5)

6 + 10 = 2 • 8

16 = 16

División de números naturales

D : d = c

Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.

Propiedades de la división

1.División exacta

15 = 5 • 3

2. División entera

17 = 5 • 3 + 2

3. No es una operación interna

2 : 6

4. No es Conmutativo.

6 : 2 ≠ 2 : 6

5. Cero dividido entre cualquier número da cero.

0 : 5 = 0

6. No se puede dividir por 0.

APLICACIONES CON NÚMEROS NATURALES

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN:

En el siguiente video podrás observar algunos conceptos importantes de la potenciación y la radicación.

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como

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