Matematica

MARCO TEORICO

FENOMENO DETERMINISTA:

En estadística, un suceso determinista es un experimento o fenómeno que da lugar a un resultado cierto o seguro, es decir, cuando partiendo de unas mismas condiciones iníciales tenemos la certeza de lo que va a suceder. La relación causa-efecto se conoce en su totalidad.

Por ejemplo, todos los fenómenos que siguen las leyes de la física clásica, como puede ser la caída de un cuerpo. Cuando un experimento o fenómeno no es determinista estamos ante un experimento aleatorio.

Ejemplos:

Tiro parabólico

el destino de un contagiado con SIDA

la vida media de un elemento radiactivo.

FENOMENO ALEATORIO:

La aleatoriedad se asocia a todo proceso cuyo resultado no es previsible más que en razón de la intervención del azar. El resultado de todo suceso aleatorio no puede determinarse en ningún caso antes de que este se produzca. El estudio de los fenómenos aleatorios queda dentro del ámbito de la teoría de la probabilidad y, en un marco más amplio, en el de la estadística.

La palabra aleatorio se usa para expresar una aparente carencia de propósito, causa, u orden. El término aleatoriedad se usa a menudo como sinónimo con un número de propiedades estadísticas medibles, tales como la carencia de tendencias o correlación.

La aleatoriedad ocupa un lugar importante en la ciencia y la filosofía.

Ejemplos:

El numero ganador de la lotería

La ocurrencia de lluvia hoy

el sexo de un bebe por nacer

EXPERIMENTO ALEATORIO:

En Teoría de la probabilidad un experimento aleatorio es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iníciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir o reproducir el resultado exacto de cada experiencia particular. (Ej: Lanzamiento de un dado). Este tipo de fenómeno es opuesto al fenómeno determinista, en el que conocer todos los factores de un experimento nos hace predecir exactamente el resultado del mismo. Por ejemplo, conociendo la altura desde la que se arroja un móvil es posible saber exactamente el tiempo que tardará en llegar al suelo en condiciones de vacío.

Propiedades:

Un experimento se dice aleatorio si verifica las siguientes condiciones:

 Si los resultados se pueden contar se le llama experimento aleatorio numerable; y si no se pueden contar, se le llama experimento aleatorio no numerable.

 Si es posible conocer previamente todos los posibles resultados (el espacio muestra, constituido por diferentes sucesos) o por lo menos nombrar al último resultado se le llama experimento aleatorio finito; y si no se puede nombrar al último resultado, se le llama experimento aleatorio infinito.

 Es imposible predecir el resultado exacto del mismo antes de realizarlo.

 A cada realización de un experimento se le llama experiencia o prueba

EXPERIMENTO EQUIPROBABLE

Se dice que dos sucesos posibles de un experimento son equiprobables cuando la probabilidad de ocurrencia de ambos sucesos es la misma. Matemáticamente:

Siendo E y B resultados posibles de un mismo experimento.

Espacio probabilístico Discreto Equiprobable

- Su espacio maestral es finito de tamaño N.

-

- La probabilidad de cualquier suceso elemental E

FORMULAS DE PROBABILIDAD:

Ley de Laplace: sirve para asignar probabilidades a sucesos equiprobables.

Sucesos incompatibles: Son aquellos que no se pueden verificar simultáneamente. Cuando pueden verificarse ambos a la vez se llaman compatibles.

A B =

p(A B) = p(A) + p(B)

Sucesos compatibles: Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común

A B ≠

p(A B) = p(A) + p(B) − p(A B)

Probabilidad condicionada: Se llama probabilidad del suceso A condicionada al B y se representa por P(A/B) a la probabilidad del suceso A una vez ha ocurrido el B.

Sucesos independientes: Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Al lazar dos dados los resultados son independientes.

p(A B) = p(A) • p(B)

Sucesos dependientes: Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.

p(A B) = p(A) • p(B/A)

Diferencia de sucesos: es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B.

A − B se lee como "A menos B".

Teorema de la probabilidad total: Nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas:

p(B) = p(A1) • p(B/A1) + p(A2) • p(B/A2 ) + ... + p(An) • p(B/An )

Teorema de Bayes: se apoya en el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la Probabilidad Total:

CALCULO O MEDICION

La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso o evento) cuando se realiza un experimento aleatorio.

Para calcular la probabilidad de un evento se toma en cuenta todos los casos posibles de ocurrencia del mismo; es decir, de cuántas formas puede ocurrir determinada situación.

Los casos favorables de ocurrencia de un evento serán los que cumplan con la condición que estamos buscando.

La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):

El valor cero corresponde al suceso imposible; ejemplo: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7 es cero.

El valor uno corresponde al suceso seguro, ejemplo: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).

El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar.

Métodos de medición de Probabilidad

Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.

Ejemplos:

a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable (f) es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles (n) son seis (puede salir cualquier número del uno al seis).

DIAGRAMA DE ARBOL:

Un diagrama de árbol (mejor conocido como árbol de combinaciones) es aquel que da todo lo que puedes combinar.

Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tienen un numero finito de manera de ser llevado a cabo.

Un diagrama de árbol en probabilidades es un método grafico para resolver problemas en los cuales hay que completar varias etapas, cada una de las cuales tienen cierto número de formas para completarse, y cada forma tiene una probabilidad.

Para la construcción de un diagrama de árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.

En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

EJEMPLO

Una universidad está formada por tres facultades:

• La 1ª con el 50% de estudiantes.

• La 2ª con el 25% de estudiantes.

• La 3ª con el 25% de estudiantes.

Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.

¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?

¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?

Pero también podría ser lo contrario.

ESTADISTICA:

Es la ciencia que le facilita al hombre el estudio de datos masivos, pasa de esa manera sacar conclusiones valederas y efectuar predicciones razonables de ellos; y así mostrar una visión de conjunto clara y de más fácil apreciación, así como para describirlos y compararlos.

En una forma práctica, la ESTADÍSTICA nos proporciona los métodos científicos para la recopilación, organización, resumen, representación y ANALISIS de DATOS, o análisis de hechos, que se presenten a una valuación numérica; tales como son: Características biológicas o sociológicas, fenómenos físicos, producción, calidad, población riqueza, impuestos, cosechas, etc.

La cualidad de CIENCIA de la Estadística se presta aún a polémica; pero es un hecho indiscutible el que viene a constituir un auxiliar maravilloso y sobretodo insustituible para la investigación científica, al permitir que se aproveche el material cuantitativo que arrojan las observaciones y los experimentos.

Sólo mediante el empleo de los procederes estadísticos se hace posible el ordenamiento, clasificación, presentación y estudio claro de datos, hechos y ocurrencias masivas; los cuales de ordinario presentan una apariencia confusa, cambiante, afectados por interrelaciones diversas y variaciones sin regulaciones aparentes; que de otra forma no se podrían apreciar.

En

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