Matematica Basica 2

TRABAJO PARA EXAMEN PARCIAL

CURSO: MATEMATICA BASICA 2

DOCENTE: NIDIA ACHA

TEMA: TRABAJO FINAL

FACULTAD: INGENIERIA DE SISTEMAS E INDUSTRIAL

INTEGRANTES:

- ARRAZABAL MALABER José Junior.

CICLO: 2 CICLO

TURNO: NOCHE

HORARIO: MIERCOLES Y JUEVES à 08:00 – 10:30 horas

2012

MATRICES

Definición: Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadasparciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.

Una matriz es una tabla ordenada de escalares ai j de la forma:

La matriz anterior se denota también por (ai j ), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (ai j ).

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ð n.

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...

Ejemplo:

Donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

CLASES DE MATRICES

Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:

Matrices Cuadradas

Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es de orden n y se denominamatriz n-cuadrada.

Ejemplo: Sean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

Matriz Identidad

Sea A = (ai j) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22,..., ann. La traza de A, escrito tr A, es lasuma de los elementos diagonales.

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,

A• I = I •A = A.

Matrices Triangulares

Una matriz cuadrada A = (ai j) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices

Son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

Matrices Diagonales

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22,..., dnn). Por ejemplo,

son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por

diag(3,-1,7) diag(4,-3) y diag(2,6,0,-1).

Transpuesta de una matriz

La transpuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.

Así, la transpuesta de:

En otras palabras, si A = (ai j) es una matriz m ð n, entonces AT = es la matriz n ð m. La transposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. (A + B) T = AT + BT.

2. (AT)T = A.

3. (kA) T = kAT (si k es un escalar).

4. (AB) T = BTAT.

Matrices Simétricas

Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = -A.

Ejemplo:

Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.

Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.

A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

Matrices Ortogonales

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.

Consideremos una matriz 3 ð 3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

Matrices Normales

Una matriz es normal si conmuta con su transpuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.

Ejemplo:

Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal.

OPERACIONES CON MATRICES

Suma y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ð 2 y otra de 3 ð 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

...