Matematicas

Exponentes racionales y radicales.

- Raíz n-esima de un número

Para comprender lo que es la raíz enésima de un número, es necesario tener en claro los términos de la radicación, estos son el radicando, el índice radical y la raíz:

• El radicando es el número al cual queremos hallar su raíz.

• El índice radical nos indica cuantas veces debemos multiplicar por si mismo un número para así obtener el radicando.

• La raíz es aquel número que si se multiplica por si mismo las veces que indica el índice radical, da como resultado el radicando.

Sea,

Se define a la raíz enésima de a y como el número real positivo es b se señalará que:

Se verifica entonces la siguiente igualdad:

Teóricamente tenemos que:

Veamos ahora algunos casos de raíz enésima

1- Índice par y radicación positivo:

La radicación de un número positivo con un índice radical natural par posee dos resultados con el mismo valor absoluto, pero uno de estos valores es positivo y el otro es negativo. Veamos un ejemplo:

2- Índice par y radicando negativo:

No hay ningún número real que su cuadrado de como resultado un número negativo. Esto solo es posible con las unidades imaginarias (cuyos cuadrados son negativo) Un radicando negativo no tiene raíz si su índice radical es par.

Un producto de factores positivos (tanto si la cantidad es par o impar) resulta siempre en un número positivo y una serie par de factores negativos da par. Un radicando negativo con índice radical par no tendrá raíz.

Ejemplo:

Esto se cumple de tal forma ya que si fuera (+4) daría (+4)x(+4)=(+16) y si fuera (-4)x(-4)=(+16) y nunca daría como resultado (-16)

3- Índice impar y radicando positivo:

La radicación de un número positivo con índice radical natural impar posee solo una raíz positiva. Una serie de factores positivos que se multiplican por si mismos, resultan en un número positivo, tanto si la cantidad de factores son pares o impares. Entonces,

Si se tiene un producto de factores negativos, cada producto de dos factores dará un total con signo positivo. Esto no se cumple si la cantidad de factores es impar y el total será negativo.

Sea un número natural impar I y la raiz,

donde se tendrá que +R=CxCxC…etc I veces y según lo que hemos enunciado anteriormente, C debe ser positivo y no negativo para dar +R.

Ejemplos:

4- Índice impar y radicando negativo:

El resultado será un real negativo. La raíz de un radicando negativo, con índice radical impar, es negativa. Si multiplicamos una cantidad par de veces un número cualquiera (-A), obtenemos un total positivo (+T) y si ese total (+T) se multiplica una vez mas por (-A), el número de factores va a ser impar, con un resultante (+T)x(-A)=+Total, como explica la regla de signos de los enteros.

Ejemplo:

Ejemplo

a.) pues ; en este caso decimos que es la raíz cúbica de

b.) pues en este caso decimos que es la raíz cuarta de

c.) pues en este caso decimos que es la raíz cuadrada de

- Simplificación de expresiones con radicales.

Simplificando expresiones radicales

Antes que podamos simplificar una expresión radical, debemos conocer las propiedades importantes de los radicales.

PROPIEDAD DEL PRODUCTO DE RAÍCES CUADRADAS

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