Matematicas

TEORIA DE CONJUNTOS

I. NOCION DE CONJUNTO:

Un conjunto es un ente matemático por lo cual se puede tener una idea subjetiva de ello, como colección agrupación o reunión de objetos abstractos o concretos denominados elementos. Ejemplos:

- Los días de la semana.

- Los países de América del Sur.

- Los jugadores de un equipo de fútbol.

1.1NOTACION DE CONJUNTO

Generalmente se denota a un conjunto con símbolos que indiquen superioridad y a sus elementos mediante variables o letras minúsculas separados por comas y encerrados con llaves. Ejemplos:

B = {los días de la semana}

C = {cara, sello}

1.2RELACION DE PERTENENCIA

Se establece esta relación sólo de elemento a conjunto y expresa si el elemento indicado forma parte o no del conjunto considerado.

“. . . pertenece a . . .” : 

“. . . no pertenece a . . .” : 

Ejemplo:

* 2  C

* 8  C

* {1; 2}  C

* 5  C

* 6  C

1.3DETERMINACION DE UN CONJUNTO

Consiste en precisar correctamente que elementos forman parte del conjunto. Puede hacerse de dos formas:

Por Extensión (forma tabular)

Cuando se indica generalmente a todos y cada uno de los elementos.

Ejemplos:

Es evidente que el orden en el cual son listados los elementos del conjunto no afecta el hecho de que pertenezcan a él. De este modo en el conjunto.

No todos los conjuntos pueden ser determinados por extensión, entonces se recurre a otra forma de determinación.

Por Comprensión (forma constructiva)

Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, de tal manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al conjunto y todo elemento del conjunto goza de la propiedad mencionada.

Esquema:

“tal que”

Ejemplos:

A = {n/n es una vocal}

B = {los números pares menores que 13}

C = {n2 - 1 / n es entero  1  n  7}

1.4DIAGRAMA DE VENN - EULER

Son regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas que se utilizan para representar gráficamente a los conjuntos, así:

. . . .

Ejemplo:

Observación:

Otro diagrama para representar gráficamente a los conjuntos es:

DIAGRAMA DE LEWIS CARROL

Hombres Mujeres

Fuman

No Fuman

Se observa que:

Hombres que fuman

Mujeres que no fuman

1.5NUMERO CARDINAL

El número cardinal de un conjunto (A) nos indica la cantidad de elementos diferentes que posee y se denota por: n(A).

Ejemplos:

* A = {5, 6, 6, 5}  n(A) = 2

* B = {x/x  N  3 < x < 9}  n(B) = 5

II. CLASES DE CONJUNTOS

Los conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la cantidad de elementos diferentes que poseen, según esto tenemos:

2.1FINITO

Si posee una cantidad limitada de elementos, es decir el proceso de contar sus diferentes elementos termina en algún momento.

Ejemplo:* K = {3n + 2 / n  Z  1  n  4}

K es finito pues n(K) = 4

* L = {x/x es un día de la semana}

L es finito pues n(L) = 7

2.2INFINITO

Si posee una cantidad ilimitada de elementos es decir el proceso de contar sus diferentes elementos no termina nunca. Ejemplo:

M = {x/x  Q  1  x  2}

M es infinito pues n(M) = . . . . ?

Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}

Z+ es infinito pues n(Z+) = . . . . ?

III. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS:

3.1INCLUSION 

Se dice que A está incluido en otro conjunto B, si todos los elementos de A pertenecen a B.

Se denota: A  B

Se lee: “A está incluido en B”

“A está contenido en B”

“A es subconjunto de B”

Representación:

A  B   x  A : x  A  x  B

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