Matriz Identidad

MATRIZ IDENTIDAD

Una matiz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a uno.

La matriz identidad es aquella matriz cuadrada que tiene en su diagonal principal elementos que son la unidad (unos) y los demás elementos son ceros (0)

Ejemplos, de matrices identidad de Orden 1, Orden 2 y de Orden 3 respectivamente

En álgebra lineal, la matriz identidad es una matriz que cumple la propiedad de ser el elemento neutro del producto de matrices. Esto quiere decir que el producto de cualquier matriz por la matriz identidad (donde dicho producto esté definido) no tiene ningún efecto. La columna i-encima de una matriz identidad es el vector unitario de una base vectorial inmersa en un espacio Euclídeo de dimensión n. Toda matriz representa una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales de dimensión finita. La matriz identidad se llama así porque representa a la aplicación identidad que va de un espacio vectorial de dimensión finita a sí mismo.

La matriz identidad de tamaño , se define como la matriz diagonal que tiene valor 1 en cada una de las entradas de la diagonal principal, y 0 en el resto. Así,

Empleando la notación que a veces se usa para describir concisamente las matrices diagonales, resulta:

Si el tamaño es inmaterial, o se puede deducir de forma trivial por el contexto, entonces se escribe simplemente como .

También se puede escribir usando la notación delta de Kronecker:

o, de forma aún más sencilla,

La matriz identidad de orden n puede ser también considerada como la matriz permutación que es elemento neutro del grupo de matrices de permutación de orden n!.

PROPIEDADES

• ASOCIATIVIDAD

Demostración. Dada la definición de la operación binaria se sigue el resultado ya que debido a que para todo .

• CONMUTATIVIDAD

Demostración Dada la definición de la operación binaria se sigue el resultado ya que debido a que para todo .

• EXISTENCIA DEL ELEMENTONEUTRO ADITIVO

Existe tal que

Demostración Tómese tal que para cualquier (dónde este último es el elemento neutro aditivo en el campo, el cual existe necesariamente). Entonces para cualquier se sigue que ya que para cualquier , dado que las entradas están en un campo.

• EXISTENCIA DEL INVERSO ADITIVO

Existe tal que

a esta matriz se le denota por .

Demostración Dada tómese tal que . Entonces ; luego, por las propiedades de campo donde es el inverso aditivo de en el campo para cualquier .

En efecto, estas propiedades dependen el conjunto en el que estén las entradas, como se ha dicho antes, aunque en las aplicaciones generalmente los campos usados son (los números reales) y (los números complejos)

Por como se definió la operación binaria adición se dice que ésta operación es una operación interna por lo que se cumple intrínsecamente la propiedad de que es cerrado bajo adición. Con estas propiedades se tiene que es un grupo abeliano.

En el caso en que el conjunto al que pertenecen las entradas de la matriz sea un anillo , la operación de adición de matrices continúa dotando de estructura de grupo abeliano a , ya que bajo un anillo se tiene que es un grupo abeliano. En el caso de que las entradas estén en un grupo , éste necesita ser un grupo abeliano para que la adición de matrices siga dotando de estructura de grupo abeliano a .

OPERACIONES CON MATRICES:

Suma y Resta de matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como:

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