Medidas De Posición

PARA TENER EN CUENTA

Media geométrica (G). Es la raíz en enésima del producto de los valores de los elementos de la muestra, es usada cuando los valores de los datos de la muestra no son lineales, es decir que su valor depende de varios factores a la vez o con tendencia exponencial, por ejemplo análisis a la población de un país, el de un capital colocado a una tasa de interés compuesto, etc. Se determina de la siguiente forma:

M0 = Mg =

Donde:

M0 = Mg = G = media geométrica

xi = dato i

n = número de datos en la muestra

Ejemplos:

1. Las siguientes temperaturas han sido tomadas de un proceso químico, 13.4oC, 12.8, 11.9, 13.6, determine la temperatura promedio de este proceso.

Solución:

G = = 12.9077 oC

2. Las siguientes temperaturas han sido tomadas de un proceso para fabricar queso chihuahua, 21.4oC, 23.1, 20.2, 19.7, 21.0, determine la temperatura promedio de este proceso.

Solución:

G = = 21.048 oC

OBSERVACIÓN: No puede utilizarse cuando ocurra alguna de las siguientes situaciones:

Si un valor de la variable es cero

Si un valor de la variable es negativo, daría una raíz imaginaria

Media aritmética ponderada ( xw ). Esta media se usa cuando el peso que tiene cada uno de los datos de la muestra es diferente, se calcula de la siguiente manera:

donde:

xw = media aritmética ponderada

xi = dato i

wi = peso del dato i

Ejemplo:

A continuación se mencionan las materias que Luis Pérez llevó en el primer semestre de Ingeniería Química, el número de créditos y la calificación obtenida;

MATERIA NUMERO CREDITOS CALIFICACIÓN

Metodología de la investigación 8 90.5

Matemáticas I 10 100.0

Programación 8 81.0

Química 10 78.0

Dibujo 4 100.0

Economía 8 84.0

Determine la calificación promedio que obtuvo Luis Pérez en su primer semestre.

Solución:

=

XW

Nota: Sí comparamos este promedio con el que se obtiene usando simplemente la media aritmética, que es un 88.91, nos damos cuenta de que este último es mayor, por no tomar en cuenta el peso o número de créditos que aporta cada materia a la carrera que se estudia, el promedio de esta persona es menor al de la media aritmética debido a que obtiene una calificación baja es Química que es una de las materias que aporta más créditos.

Media armónica (H). La media armónica se define como el recíproco del promedio de los recíprocos de cada uno de los datos que se tienen en la muestra. El valor que se obtiene con la aplicación de esta medida será menor que el obtenido con la media geométrica, que a su vez es menor que la media aritmética y se determina de la siguiente manera:

MH = MA = M – 1 =

Ejemplo: Determine la media armónica de los siguientes datos, 3.1, 2.8, 2.84, 3.05, 3.09

Solución:

En gran parte de las distribuciones, se considera que la distancia entre la media y la moda, es tres veces la distancia entre la media y la mediana (establecida por K, Pearson)

Se dice que una distribución de datos es Simétrica cuando las frecuencias absolutas y relativas equidistantes a un valor central, son iguales. En una distribución simétrica, la mediana, media y moda tendrán el mismo valor, el cual se localizará en el centro de la variable.

Las Medidas de Posición, son otras medidas o métodos que resultan ser más prácticos para precisar ciertas situaciones en las que se busca describir la variación o dispersión en un conjunto de datos.

Los cuantiles son medidas de posición que se determinan mediante un método que determina la ubicación de los valores que dividen un conjunto de observaciones en partes iguales.

Los cuantiles son los valores de la distribución que la dividen en partes iguales, es decir, en intervalos que comprenden el mismo número de valores. Cuando la distribución contiene un número alto de intervalos o de marcas y se requiere obtener un promedio de una parte de ella, se puede dividir la distribución en cuatro, en diez o en cien partes.

Los más usados son los cuartiles, cuando dividen la distribución en cuatro partes; los deciles, cuando dividen la distribución en diez partes y los centiles o percentiles, cuando dividen la distribución en cien partes. Los cuartiles, como los deciles y los percentiles, son en cierta forma una extensión de la mediana.

Para algunos valores u, se dan nombres particulares a los cuantiles, Q (u):

u Q(u)

0.5 Mediana

0.25, 0.75 Cuartiles

0.1, ... , 0.99 Deciles

0.01, ..., 0.99 Centiles

CUARTILES

Los cuartiles son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partes porcentualmente iguales.

Hay tres cuartiles denotados usualmente Q1, Q2, Q3. El segundo cuartil es precisamente la mediana. El primer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual queda un cuarto (25%) de todos los valores de la sucesión (ordenada); el tercer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual quedan las tres cuartas partes (75%) de los datos.

Datos Agrupados

Como los cuartiles adquieren su mayor importancia cuando contamos un número grande de datos y tenemos en cuenta que en estos casos generalmente los datos son resumidos en una tabla de frecuencia. La fórmula para el cálculo de los cuartiles cuando se trata de datos agrupados es la siguiente:

K = 1,2,3

Donde:

Lk = LRI = Límite real inferior de la clase que contiene al cuartil k

n = Número de datos

Fk = Fi - 1 = Ni - 1 = Frecuencia acumulada de la clase que anterior a la clase del cuartil k.

f k = Frecuencia de la clase del cuartil k

c = Ancho o tamaño del intervalo de la clase del cuartil k

INTERPRETACIÓN

• El primer

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