NOCIONES SOBRE CONJUNTO

NOCIONES SOBRE CONJUNTO

El concepto de conjunto como objeto abstracto no comenzó a emplearse en matemáticas hasta el siglo XIX, a medida que se despejaban las dudas sobre la noción de infinito.2 Los trabajos de Bernard Bolzano y BernhardRiemann ya contenían ideas relacionadas con una visión conjuntista de la matemática. Las contribuciones de Richard Dedekind al álgebra estaban formuladas en términos claramente conjuntistas, que aún prevalecen en la matemática moderna: relaciones de equivalencia, particiones, homomorfismos, etc., y él mismo explicitó las hipótesis y operaciones relativas a conjuntos que necesitó en su trabajo.

La teoría de conjuntos como disciplina independiente se atribuye usualmente a Georg Cantor. Comenzando con sus investigaciones sobre conjuntos numéricos, desarrolló un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propiedades. La influencia de Dedekind y Cantor empezó a ser determinante a finales del siglo XIX, en el proceso de «axiomatización» de la matemática, en el que todos los objetos matemáticos, como los números, las funciones y las diversas estructuras, fueron construidos en base a los conjuntos.

CONJUNTO

En matemáticas, un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa:personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.1 Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

. Por ejemplo: Son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción deaxiomas y conduce a la teoría de conjuntos.Algunos ejemplos son:

A es el conjunto de los números naturales menores que 5.

B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.

C es el conjunto de las letras a, e, i, o y u.

D es el conjunto de los palos de la baraja francesa.

Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈:n 1 la expresión a ∈ A se lee entonces como «a está en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el símbolo ∉.

Por ejemplo:

3 ∈ A , ♠ ∈ D

amarillo ∉ B, z ∉ C

ELEMENTO

Llamamos conjunto a una colección de objetos y a los objetos que lo forman se les llama elementos del conjunto. En teoría de conjuntos, un elemento o miembro de un conjunto es un objeto atómico que forma parte de ese conjunto.

NOTACIÓN

Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para los conjuntos A y D se usa una definición intensiva o por comprensión, donde se especifica una propiedad que todos sus elementos poseen. Sin embargo, para los conjuntos B y C se usa una definición extensiva, listando todos sus elementos explícitamente.Es habitual usar llaves para escribir los elementos de un conjunto, de modo que:

B = {verde, blanco, rojo}

C = {a, e, i, o, u}

Esta notación mediante llaves también se utiliza cuando los conjuntos se especifican de forma intensiva mediante una propiedad:

A = {Números naturales menores que 5}

D = {Palos de la baraja francesa}

Otra notación habitual para denotar por comprensión es:

A = {m : m es un número natural, y 1 ≤ m ≤ 5}

D = {p : p es un palo de la baraja francesa}

F = {n2 : n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10},

En estas expresiones los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto F es el conjunto de «los números de la forma n2 tal que n es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros cuadrados de números naturales. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical («|») u oblicua «/» .

SUBCONJUNTOS

Un subconjunto A de un conjunto B, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de B (o quizá todos):

Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si cada elemento de A es a su vez un elemento de B.

Cuando A es un subconjunto de B, se denota como A ⊆ B y se dice que «A está contenido en B». También puede escribirse B ⊇ A, y decirse que B es unsuperconjunto de A y también «B contiene a A» o «B incluye a A». Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo, ya que siempre se cumple que «cada elemento de A es a su vez un elemento de A». Es habitual establecer una distinción más fina mediante el concepto de subconjunto propio: A es un subconjunto propio de B si es un subconjunto de B pero no es igual a B.

Se denota como A ⊊ B, es decir: A ⊆ B pero A ≠ B (y equivalentemente, para un superconjunto propio, B ⊋ A).n 2

Ejemplos.

El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».

{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}

{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}

CONJUNTOS DISJUNTOS

Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Por ejemplo, los conjuntos de los números racionales y los números irracionales son disjuntos: no hay ningún número que sea a la vez racional e irracional. La intersección de dos conjuntos disjuntos es el conjunto vacío.

PROPIEDADES DE LA INDUCCIÓN

En matemáticas, la inducción es un razonamiento que permite demostrar una infinidad de proposiciones, o una proposición que depende de un parámetro que toma una infinidad de valores enteros. En términos simples, la inducción matemática consiste en el siguiente razonamiento:

Premisa mayor: El número entero tiene la propiedad .

Premisa menor: El hecho de que cualquier número entero tenga la propiedad implica que también la tiene.

Conclusión: Todos los números enteros a partir de tienen la propiedad .

Sea P una propiedad definida en los números naturales ( enteros positivos ) . Si 1 satisface esa propiedad y además si a partir de cualquier natural n que satisface esa propiedad se llega a que n + 1 , también la satisface, entonces cada número natural la satisface.

Para probar que una propiedad P se cumple en los números naturales, usando el principio de inducción matemática, se siguen los siguientes pasos:

1° ) Se comprueba para n = 1 ( Comprobación ) .

2° ) Se asume que se cumple para n = k ( Hipótesis de inducción ) .

3° ) Se predice que se cumple para n = k + 1 ( Tesis ) .

4° ) Se demuestra que si se cumple para n = k , entonces se cumple para n = k + 1 ( Demostración ) .

Observación: En algunos casos la propiedad se cumple a partir de un cierto natural m > 1 . Dada esa situación, en el primer paso se comprueba para n = m .

EJEMPLO

Demuestre por inducción matemática que:

Si n es un entero positivo, entonces n ( n + 1 ) es divisible por 2 .

a ) Sea n = 1 , entonces:

n ( n + 1 ) = 2 ( Verdadero ) .

b ) Sea n = k , entonces:

k ( k + 1 ) es divisible por 2 ( Hipótesis de inducción ) .

c ) Sea n = k + 1 , entonces:

( k + 1 ) ( k + 2 ) es divisible por 2 ( Tesis ) .

d ) Demostración:

( k + 1 ) ( k + 2 ) = k ( k + 1 ) + 2 ( k + 1 )

k ( k + 1 ) es divisible por 2 ( Por hipótesis de inducción ) .

2 ( k + 1 ) es divisible por 2 ( Entero par ) .

Por lo tanto ( k + 1 ) ( k + 2 ) es divisible por 2 .

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Un conjunto está totalmente determinado por sus elementos. Por ello, la igualdad de conjuntos se establece como:

Propiedad de la extensionalidadDos conjuntos A y B que tengan los mismos elementos son el mismo conjunto, A = B.

Esta propiedad tiene varias consecuencias. Un mismo conjunto puede especificarse de muchas maneras distintas, en particular extensivas o intensivas. Por ejemplo, el conjunto A de los números naturales menores que 5 es el mismo conjunto que A′, el conjunto de los números 1, 2, 3 y 4. También:

B = {verde, blanco, rojo} = {colores de la bandera de México}

C = {a, e, i, o, u} = {vocales del español}

D = {Palos de la baraja francesa} = {♠, ♣, ♥, ♦}

El orden en el que se precisan los elementos tampoco se tiene en cuenta para comparar dos conjuntos:

B = {verde, blanco, rojo} = {rojo, verde, blanco}

C = {a, e, i, o, u} = {e, i, u, a, o}

Además, un conjunto no puede tener elementos «repetidos», ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento de dicho conjunto o no serlo. Se da entonces que, por ejemplo:

{1, 2} = {1, 2, 1}

En ausencia de alguna característica adicional que distinga los «1» repetidos, lo único que puede decirse del conjunto de la derecha es que «1» es uno de sus elementos.

INTERRSECCION DE CONJUNTO

En teoría de conjuntos, la intersección de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta

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