OBJETIVO GENERAL: PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN DE UNA VARIABLE PARA MODELAR Y DE LA DERIVADA PARA RESOLVER.

INFORMACIÓN GENERAL

ASIGNATURA: CÁLCULO DIFERENCIAL

ÁREA DE CONOCIMIENTO: MATEMÁTICAS

IMPARTICIÓN: TODAS LAS CARRERAS

COMPUESTA: CINCO UNIDADES

OBJETIVO GENERAL: PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS QUE REQUIEREN DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN DE UNA VARIABLE PARA MODELAR Y DE LA DERIVADA PARA RESOLVER.

COMPETENCIAS PREVIAS

1. MANEJAR OPERACIONES ALGEBRAICAS.
2. RESOLVER ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA.
3. RESOLVER ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON DOS INCÓGNITAS.
4. MANEJAR RAZONES TRIGONOMÉTRICAS  E IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.
5. IDENTIFICAR LOS LUGARES GEOMÉTRICOS QUE REPRESENTAN RECTAS O CÓNICAS.

CARACTERÍSTICAS DE LA ASIGNATURA

LO MÁS SOBRESALIENTE DE ESTA ASIGNATURA ES QUE EN ELLA SE ESTUDIAN LOS CONCEPTOS SOBRE LOS QUE SE CONSTRUYE TODO EL CÁLCULO: NÚMEROS REALES, VARIABLE, FUNCIÓN Y LÍMITE.

UTILIZANDO ESTOS TRES CONCEPTOS SE ESTABLECE UNO DE LOS ESENCIALES DEL CÁLCULO: LA DERIVADA, CONCEPTO QUE PERMITE ANALIZAR RAZONES DE CAMBIO

ENTRE DOS VARIABLES, NOCIÓN DE TRASCENDENTAL IMPORTANCIA EN LAS APLICACIONES DE LA INGENIERÍA.

CON EL CÁLCULO DIFERENCIAL EL ESTUDIANTE ADQUIERE LOS CONOCIMIENTOS NECESARIOS PARA AFRONTAR CON ÉXITO CÁLCULO INTEGRAL, CÁLCULO VECTORIAL, ECUACIONES DIFERENCIALES, ASIGNATURAS DE FÍSICA Y CIENCIAS DE LA INGENIERÍA. ADEMÁS, ENCUENTRA TAMBIÉN LOS PRINCIPIOS Y LAS BASES PARA EL MODELADO MATEMÁTICO.

ENCUADRE DE LA ASIGNATURA

REGLAMENTO INTERNO DE LA ASIGNATURA DE CÁLCULO DIFERENCIAL

1.- EL ALUMNO TENDRÁ UNA TOLERANCIA DE 10 MIN. PARA ENTRAR AL AULA DESPUÉS DE INICIADA LA CLASE.

2.- PARA EVITAR DISTRACCIÓN DURANTE LA CLASE, SE EXHORTA A LOS ALUMNOS PONER EN MODO VIBRADOR SU EQUIPO TELEFÓNICO.

3.- RESPETAR LAS INDICACIONES Y FECHAS ESTABLECIDAS PARA LA ENTREGA DE TRABAJOS, EXPOSICIONES, APLICACIÓN DE EXÁMENES Y DEMÁS ACTIVIDADES PROPIAS PARA REALIZAR LA EVALUACIÓN FORMATIVA.

4.- PONER EN PRÁCTICA LOS VALORES HUMANOS DENTRO DEL AULA: RESPETO, ORDEN Y LIMPIEZA.

5.- IMPARTIR CALIDAD EDUCATIVA CON CALIDÉZ HUMANA.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

*EVIDENCIA DE CONOCIMIENTO--------------------------------------- 40%

(Examen escrito, cuestionario, ejercicios resueltos en clases o extraclases)

• EVIDENCIA DE DESEMPEÑO -------------------------------------------- 30% (Exposición,  video, fotografía, trabajo de investigación)
• EVIDENCIA  DE PRODUCTO --------------------------------------------- 30% (Informe, reporte, encuestas)

ANTECEDENTES HISTÓRICOS

LA MATEMÁTICA ES UNA CIENCIA QUE ESTUDIA LAS RELACIONES ABSTRACTAS (SÍMBOLOS) Y CONSTITUYE EL FUNDAMENTO TEÓRICO-FORMAL DE LAS DEMÁS CIENCIA, EN CUENSECUENCIA, SU ESTUDIO ES INDISPENSABLE DEBIDO A QUE PARTICIPA EN TODOS LOS CAMPOS DEL SABER E INCLUSO EN LA MAYORÍA DE LAS ACTIVIDADES TECNOLÓGICAS E INDUSTRIALES.

LA ARITMÉTICA ES UNA DE LAS RAMAS DE LA MATEMÁTICA QUE SE DEDICA AL ESTUDIO DE LOS NÚMEROS.

EN UN PRINCIPIO EL SER HUMANO ERA NÓMADA, ES DECIR, NO VIVÍA EN UN LUGAR FIJO, ASÍ QUE CONTABA CON MUY POCOS BIENES MATERIALES, EL INICIO DE LA AGRICULTURA Y LA DOMESTICACIÓN DE ANIMALES LO OBLIGAN A ESTABLECER SU CASA CERCA DE LOS RÍOS Y, EN CONSECUENCIA, LO CONVIERTEN EN SEDENTARIO.

DE ESTA MANERA CADA CULTURA Y CIVILIZACIÓN COMIENZAN A CREAR SU PROPIA SIMBOLOGÍA Y SUS PRINCIPIOS, Y A FORMAR LOS DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACIÓN, QUE EN SU MAYORÍA ERAN PICTÓRICOS.

LOS EGIPCIOS CREARON EL SISTEMA MÁS ANTIGUO DE NUMERACIÓN Y SÍMBOLOS, ESTE SISTEMA UTILIZA EL PRINCIPIO ADITIVO Y NO IMPORTA LA POSICIÓN DE LOS SÍMBOLOS.

LOS BABILONIOS SE UBICARON EN EL ÁREA GEOGRÁFICA DE MESOPOTAMIA, EN LO QUE HOY SE CONOCE COMO IRAQ, QUE SIGNIFICA TIERRA ENTRE DOS RÍOS: ÉUFRATES Y TIGRIS. LA BASE DE SU NUMERACIÓN ES SEXAGESIMAL (BASE 60) DEBIDO A QUE CONSIDERABAN QUE UNA MAGNITUD DE 60 UNIDADES PUEDE DIVIDIRSE FACILMENTE CON EXACTITUD ENTRE 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 Ó 30 PARTES IGUALES, LO QUE PERMITE DIEZ SUBDIVISIONES EXACTAS.

TAMBIÉN USARON TABLAS PARA MULTIPLICAR Y DIVIDIR, PARA ELEVAR AL CUADRADO Y SACAR RAÍCES, PARA REALIZAR PROGRESIONES Y HACER FRACCIONES.

LOS MAYAS MANEJARON EL SISTEMA DE NUMERACIÓN MÁS COMPLEJO Y BIEN ESTRUCTURADO, SU BASE ERA VIGESIMAL (BASE 20) Y CON SÓLO TRES SÍMBOLOS REPRESENTABAN CUALQUIER NÚMERO, CONOCIERON EL CERO QUE SE REPRESENTABA CON UN CARACOL.

UNIDAD I

LA NECESIDAD DE CONTAR Y MEDIR HACE QUE EL SER HUMANO DESARROLLE LOS NÚMEROS QUE CONOCEMOS COMO NÚMEROS NATURALES (N), LO QUE EN NOTACIÓN ACTUAL SON: N= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …….) LOS PUNTOS SUSPENSIVOS INDICAN QUE CONTINÚAN SUCESIVAMENTE HASTA EL INFINITO.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS NATURALES (N)

& CADA NÚMERO NATURAL INDICA UNA CANTIDAD DE OBJETOS.

& CADA NÚMERO NATURAL TIENE UN SUCESOR O SIGUIENTE (N + 1).

& TODOS LOS NÚMEROS NATURALES, MENOS EL 1, TIENEN UN ANTECESOR O

ANTERIOR.

& SE PUEDEN RESOLVER PROBLEMAS DE DIFERENTE ÍNDOLE.

& SE PUEDEN EFECTUAR OPERACIONES DE SUMA Y MULTIPLICACIÓN, PERO NO DE TODAS LAS RESTAS NI TODAS LAS DIVISIONES, COMO LA SIGUIENTE: 4-8,

NO EXISTE UN NÚMERO NATURAL QUE SEA EL RESULTADO DE ESTA OPERACIÓN, PARA RESOLVERLA FUE NECESARIO AMPLIAR EL CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES, AGREGANDO LOS NÚMEROS NEGATIVOS Y EL CERO.

NÚMEROS ENTEROS «Z»: ES EL CONJUNTO FORMADO POR NÚMEROS NEGATIVOS, EL CERO Y NÚMEROS POSITIVOS.

[pic 2][pic 1]

        -4        -3        -2        -1        0        1        2        3        4

        «Z» NEGATIVOS CERO        «N» POSITIVOS

POR LO TANTO, EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES ES UN SUBCONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS; ES DECIR, LOS ELEMENTOS DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES TAMBIÉN PERTENECEN AL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS

ENTEROS.

CON LOS NÚMEROS ENTEROS SE PUEDEN RESOLVER OPERACIONES DE ADICIÓN, SUSTRACCIÓN Y MULTIPLICACIÓN, PERO NO TODAS LAS DIVISIONES, TAL ES EL CASO DE: 3/2 = ?

NO EXISTE UN NÚMERO ENTERO QUE SEA EL RESULTADO DE ESTA OPERACIÓN; PARA SOLUCIONAR ESTE PROBLEMA ES NECEARIO AMPLIAR EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS AGREGANDO LOS NÚMEROS QUE SE LLAMAN RACIONALES.

NÚMERO RACIONAL «Q»: SE COMPONE DE DOS NÚMEROS ENTEROS ORDENADOS; ES DECIR, UN PAR AL QUE SE LE LLAMA ORDENADO PORQUE: 3/5 ≠ 5/3, POR LO

TANTO TENEMOS QUE: UN NÚMERO RACIONAL ES DE LA FORMA a/b CON b ≠ 0 O LLAMADO TAMBIÉN FRACCIÓN COMÚN, EN DONDE a SE LLAMA NUMERADOR Y b DENOMINADOR. «FRACCIONARIOS».

DENOMINADOR: INDICA EN CUANTAS PARTES IGUALES ESTÁ DIVIDIDO EL ENTERO, Y EL NUMERADOR: CUANTAS PARTES IGUALES SE TOMAN DEL ENTERO.

LOS NÚMEROS RACIONALES SE PUEDEN EXPRESAR EN FORMA DECIMAL REALIZANDO LA DIVISIÓN DEL N UMERADOR ENTRE EL DENOMINADOR, COMO SE MUESTRA:

¼ = 0.25,   EXISTEN FRACCIONES QUE TIENEN LA SIGUIENTE CARACTERÍSTICA:

1/3 = 0.3333333    ESTAS FRACCIONES SE LLAMAN PERIODICAS, SE REPRESENTAN

[pic 4][pic 3]

COLOCANDO UNA BARRA SOBRE EL NÚMERO QUE SE REPITE=  1/3 =  0.3  

EXISTEN NÚMEROS QUE, COMO EL ANTERIOR, SON INFINITOS EN LA PARTE DECIMAL PERO NO TIENEN UN PERIODO, ESTOS CONSTITUYEN EL CONJUNTO DE NÚMEROS IRRACIONALES «Q’». √2 = 1.4142 √3 = 1.73 ∏ = 3.1416

LA UNIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES CON LOS IRRACIONALES CONFORMAN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES «R».

AL PLANTEARSE LA FORMACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES, QUEDAN INTEGRADOS DE LA SIGUIENTE MANERA:

NATURALES «N» POSITIVOS

ENTEROS «Z»NEGATIVOS, CERO Y POSITIVOS

NÚMEROSREALES «R»RACIONALES «Q» FRACCIONARIOS[pic 5][pic 6]

IRRACIONALES «Q’» FRACCIONARIOS INF.

PUNTO A CONSIDERAR

TODO NÚMERO QUE SE ENCUENTRE A LA DERECHA DE OTRO EN LA RECTA NUMÉRICA ES MAYOR QUE EL QUE ESTÁ A LA IZQUIERDA EN VALOR RELATIVO, INCLUSO CUANDO SE TRATA DE NÚMEROS NEGATIVOS.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

A)  LEY DE TRICOTOMÍA

1.- AL COMPARAR DOS NÚMEROS REALES SÓLO PUEDE SUCEDER UNA DE ESTAS TRES POSIBILIDADES:

1. QUE UNO SEA MENOR QUE OTRO, POR EJEMPLO: 2< 4 (DONDE < SIGNIFICA «MENOR QUE»).
2. QUE LOS DOS SEAN IGUALES, POR EJEMPLO: 5 = 5 (DONDE = SIGNIFICA «IGUAL A»).
3. QUE UNO SEA MAYOR QUE OTRO, POR EJEMPLO: 7 > 4 (DONDE SIGNIFIA «MAYOR QUE»).

B) LEY DE TRANSITIVIDAD

2.- AL COMPARAR TRES NÚMEROS REALES PUEDEN SUCEDER ESTAS TRES POSIBILIDADES:

1. SI  A = B
2. Y B = C
3. ENTONCES A = C

VALOR ABSOLUTO

EL VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL CUALQUIERA, ES IGUAL AL MISMO NÚMERO PERO SIEMPRE CON SIGNO POSITIVO. SE REPRESENTA POR DOS LÍNEAS VERTICALES PARALELAS.

        -5        = 5,         -17  = 17,         -25  = 25,         -200  = 200[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

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