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Probabilidad Condicional


Enviado por   •  26 de Junio de 2011  •  4.024 Palabras (17 Páginas)  •  1.582 Visitas

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Socaón 2.6 Probabilidad condicional 35

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que una PC esté en tina recámara?

(b) ¿( "Uálcs la probabilidad de que no esté en una re-cárnara?

(c> Suponga que se- selecciona una familia al azar en* ire las familias con una PC; ¿en qué habitación espera¬ría encontrar una PC?

2.6 Probabilidad condicional

La probabilidad de que un evento H ocurra cuando se sabe que ya ocurrió algún evento A se llama probabilidad conditionally se denota por P(B\A). El símbolo P(B\A) por lo general se lee "la probabilidad de que ocurra tf dado que ocurrió^" o simplemente "la probabilidad de /í. dado /1"\

< :onsidere el evento ¡i de obtener un cuadrado perfecto cuando se lanza un da¬do. El dado se construye de modo que los números pares tengan el doble de proba¬bilidad de ocurrencia que los números nones. Con base en el espacio muestra! S = {1. 2, 3, 4. 5, 6). con probabilidades asignadas de 1/9 y 2/9 respectivamente, a los nú¬meros impares y pares, la probabilidad de que ocurra B es 1/3. Suponga ahora que se sabe que el lanzamiento del dado tiene como resultado un número mayor que 3. Tenemos ahora un espacio muestra! reducido A - |4. 5,6J. que es un subconjunto de S. Para encontrar la probabilidad de que ocurra B, en relación con el espacio A. debemos asignar primero nuevas probabilidades a los elementos de A proporciona¬les a sus probabilidades originales de modo que su suma sea J. AI asignar una pro¬babilidad de w al número non en ^1 y una probabilidad de 2w a los dos números pares, tenemos 5 to : I o w -- 1/5. En relación con el espacio A, encontramos que B contiene sólo el elemento 4. Si denotamos este evento con el símbolo B\A* escribimos B\A = (4), y de aquí

P(*|J4)«|.

Este ejemplo ilustra que los eventos pueden tener probabilidades diferentes cuan¬do se consideran en relación con diferentes espacios muéstrales. También podemos escribir

P(B\A)~ . -5/9 nA) .

donde P(A n/i)y P(A) se encuentran a partir del espacio muestral original S. En otras palabras, una probabilidad condicional relativa a un subespacio ,-l de 5 se pue¬de calcular de forma directa de las probabilidades que se asignan a los elementos del espacio mueslral original $.

Definición 2.9

La probabilidad condicional de fl. dado A. que se denota con P(B\A). se define

como

( onto ilustración adicional, suponga que nuestro espacio mueMral .S es la po¬blación de adultos en una pequeña ciudad que cumplen con los requisitos para ob¬tener un grado en la laculiad. Debemos clasificarlos de acuerdo con su sexo v

situación laboral

Capitulo 2 Probabihtkut

I Jiijih .nln I >i 'M-||||ik';iilu I Oí 111

Hombre 460 40 SIKJ

Mujer 140 2*0 UKi

Toial 600 300 900

Uno de estos individuos se seleccionar:! al a/ar para que realice un viaje ;i ira-\ és del país para promover las ventajas tie establecer industrias nuevas en la ciudad-Nos interesaremos en los eventos siguientes:

M: se elige un hombre,

/ : el elegido tiene empleo.

Al Utilizar el espacio muestra! reducido /■. encontramos que

««*-% i-

Sea n{A) el número de elementos en cualquier conjunto A Con el uso de esta notación, podemos escribir

MU\F\-"i/£nAÍ) "" Uí ntS) />,/nA/>

donde P(£ O Aí) y /*(/:) se encuentran a partir del espacio muesiral original S, Pa¬ra verificar este resultado, note que

De aquí

/*(Aí|E) ■ -rrr —, conloantes.

Ejemplo 2.31 La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es P(D) - 0.83; la probabilidad de que llegue a tiempo es P{A) = 0.82; y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es P(DC)A) = 0-78- Encuentre la probabilidad de que un avión a) llegue a tiempo, dado que salió a tiempo y b) sa¬lió a tiempo, dado que llegó a tiempo.

SOLUCIÓN

(a) La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es

ib) La probabilidad de que un avión saliera ¿t tiempo, dado que llegó a tiempo es

Sección 2.6 Probabilidad condicional 37

En el experimento de lanzamiento de un dado que se discutió en la pagina 35 notamos que l'{B\A) = 2/5 mientras que /'<») = 1/3. Es decir. P(B\A) * P(B) lo que indica que B depende de A. Consideremos ahora un experimento en el que' se sacan : cartas una después de la otra de una baraja ordinaria, con reemplazo. Los eventos se definen como

A: la primera caria os un as,

B: la segunda carta es una espada.

Como la primera carta se reemplaza, nuestro espacio muestral para la primera y se¬gunda cartas consiste en 52 cartas, que contienen cuatro ases y 13 espadas De aquí

Es decir. P(B\A) = P(B). Cuando esto es cierto, se dice que los eventos A y B son independiente^ «

La noción de probabilidad condicional proporciona la capacidad de rcevaluar la idea de probabilidad de un evento a la luz de la información adicional; es decir. cuando se sabe que ocurrió otro evento. La probabilidad Pl/ljfííesuna "actualiza¬ción" de P(A) basada en el conocimiento de que ocurrió el evento B. En el ejemplo 2.31 es importante conocer la probabilidad de que los vuelos lleguen a tiempo. Se nos da la información de que el vuelo no salió a tiempo. Con esta información adi¬cional, la probabilidad más pertinente es /*(/*!£)'). esto es. la probabilidad de que llegue a tiempo, dado que no salió a tiempo. En muchas situaciones

...

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