Probabilidad Condicional

Socaón 2.6 Probabilidad condicional 35

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que una PC esté en tina recámara?

(b) ¿( "Uálcs la probabilidad de que no esté en una re-cárnara?

(c> Suponga que se- selecciona una familia al azar en* ire las familias con una PC; ¿en qué habitación espera¬ría encontrar una PC?

2.6 Probabilidad condicional

La probabilidad de que un evento H ocurra cuando se sabe que ya ocurrió algún evento A se llama probabilidad conditionally se denota por P(B\A). El símbolo P(B\A) por lo general se lee "la probabilidad de que ocurra tf dado que ocurrió^" o simplemente "la probabilidad de /í. dado /1"\

< :onsidere el evento ¡i de obtener un cuadrado perfecto cuando se lanza un da¬do. El dado se construye de modo que los números pares tengan el doble de proba¬bilidad de ocurrencia que los números nones. Con base en el espacio muestra! S = {1. 2, 3, 4. 5, 6). con probabilidades asignadas de 1/9 y 2/9 respectivamente, a los nú¬meros impares y pares, la probabilidad de que ocurra B es 1/3. Suponga ahora que se sabe que el lanzamiento del dado tiene como resultado un número mayor que 3. Tenemos ahora un espacio muestra! reducido A - |4. 5,6J. que es un subconjunto de S. Para encontrar la probabilidad de que ocurra B, en relación con el espacio A. debemos asignar primero nuevas probabilidades a los elementos de A proporciona¬les a sus probabilidades originales de modo que su suma sea J. AI asignar una pro¬babilidad de w al número non en ^1 y una probabilidad de 2w a los dos números pares, tenemos 5 to : I o w -- 1/5. En relación con el espacio A, encontramos que B contiene sólo el elemento 4. Si denotamos este evento con el símbolo B\A* escribimos B\A = (4), y de aquí

P(*|J4)«|.

Este ejemplo ilustra que los eventos pueden tener probabilidades diferentes cuan¬do se consideran en relación con diferentes espacios muéstrales. También podemos escribir

P(B\A)~ . -5/9 nA) .

donde P(A n/i)y P(A) se encuentran a partir del espacio muestral original S. En otras palabras, una probabilidad condicional relativa a un subespacio ,-l de 5 se pue¬de calcular de forma directa de las probabilidades que se asignan a los elementos del espacio mueslral original $.

Definición 2.9

La probabilidad condicional de fl. dado A. que se denota con P(B\A). se define

como

( onto ilustración adicional, suponga que nuestro espacio mueMral .S es la po¬blación de adultos en una pequeña ciudad que cumplen con los requisitos para ob¬tener un grado en la laculiad. Debemos clasificarlos de acuerdo con su sexo v

situación laboral

Capitulo 2 Probabihtkut

I Jiijih .nln I >i 'M-||||ik';iilu I Oí 111

Hombre 460 40 SIKJ

Mujer 140 2*0 UKi

Toial 600 300 900

Uno de estos individuos se seleccionar:! al a/ar para que realice un viaje ;i ira-\ és del país para promover las ventajas tie establecer industrias nuevas en la ciudad-Nos interesaremos en los eventos siguientes:

M: se elige un hombre,

/ : el elegido tiene empleo.

Al Utilizar el espacio muestra! reducido /■. encontramos que

««*-% i-

Sea n{A) el número de elementos en cualquier conjunto A Con el uso de esta notación, podemos escribir

MU\F\-"i/£nAÍ) "" Uí ntS) />,/nA/>

donde P(£ O Aí) y /*(/:) se encuentran a partir del espacio muesiral original S, Pa¬ra verificar este resultado, note que

De aquí

/*(Aí|E) ■ -rrr —, conloantes.

Ejemplo 2.31 La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es P(D) - 0.83; la probabilidad de que llegue a tiempo es P{A) = 0.82; y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es P(DC)A) = 0-78- Encuentre la probabilidad de que un avión a) llegue a tiempo, dado que salió a tiempo y b) sa¬lió a tiempo, dado que llegó a tiempo.

SOLUCIÓN

(a) La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salió a tiempo es

ib) La probabilidad de que un avión saliera ¿t tiempo, dado que llegó a tiempo es

Sección 2.6 Probabilidad condicional 37

En el experimento de lanzamiento de un dado que se discutió en la pagina 35 notamos que l'{B\A) = 2/5 mientras que /'<») = 1/3. Es decir. P(B\A) * P(B) lo que indica que B depende de A. Consideremos ahora un experimento en el que' se sacan : cartas una después de la otra de una baraja ordinaria, con reemplazo. Los eventos se definen como

A: la primera caria os un as,

B: la segunda carta es una espada.

Como la primera carta se reemplaza, nuestro espacio muestral para la primera y se¬gunda cartas consiste en 52 cartas, que contienen cuatro ases y 13 espadas De aquí

Es decir. P(B\A) = P(B). Cuando esto es cierto, se dice que los eventos A y B son independiente^ «

La noción de probabilidad condicional proporciona la capacidad de rcevaluar la idea de probabilidad de un evento a la luz de la información adicional; es decir. cuando se sabe que ocurrió otro evento. La probabilidad Pl/ljfííesuna "actualiza¬ción" de P(A) basada en el conocimiento de que ocurrió el evento B. En el ejemplo 2.31 es importante conocer la probabilidad de que los vuelos lleguen a tiempo. Se nos da la información de que el vuelo no salió a tiempo. Con esta información adi¬cional, la probabilidad más pertinente es /*(/*!£)'). esto es. la probabilidad de que llegue a tiempo, dado que no salió a tiempo. En muchas situaciones las conclusio¬nes que se obtienen de observar la probabilidad condicional más importante cam¬bian por completo la situación. En osle ejemplo el cálculo de P(A \D') es

Como consecuencia, la probabilidad de una llegada a tiempo disminuye considera-blemente ante la presencia de la información adicional.

Eventos independientes

Aunque la probabilidad condicional tiene en cuenta la alteración de la probabilidad de un evento a la luz de material adicional, también nos permite comprender mejoi el muy importante concepto de independencia o. en el contexto actual, el de even tos independientes. En la ilustración del aeropuerto, P(D\A) difiere de P(D) I -to sugiere que la ocurrencia de A influye en /> y esto realmente se espera en este taso Sin embargo, considere la situación donde tenemos los eventos A y li x

P{A\B) = P(A).

En oiias palabras, la ocurrencia de /' no tiene impacto en las probabilidades de ocu-rrencia de A. Aquí la ocurrencia de A es independíenle ile la ocurrencia de B.

38 Capitulo 2 Probabilidad

I a importancia del concepto tic independencia no sfi puede enfatizar con exce¬so. Juega un papel vital en el material de casi todos los capítulos de este libro y en todas las áreas de la estadística aplicada.

Definición 2.10

Pos eventos i v 8 son independientes si y SÓlo SÍ

P(B\A) P(B) y P(A\B) : /'M)-

De otra forma , A y H son dependientes

la condición P(B\A) P(B) implica que P(A |/í) - P(A). y viceversa. Pa los experimentos de extracción de una carta, donde mostramos que P{B\A) ■ r{lí) = 1/4. también podemos ver qué P{A\B) = P(A) - 1/13.

ra

2.7 Reglas multiplicativas

Al multiplicar la fórmula de la definición 2.9 por P(A). obtenemos la siguiente re¬gla multiplicativa importante, que nos permite calcular la probabilidad de que ocu¬rran dos eventos.

Teorema 2-13

Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y /*. entonces

P(ADB) - P(A)P(B\A).

Así 'a probabilidad de que Ocurran A y B es igual a la probabilidad de que ocurra A multiplicada por la probabilidad de que ocurra /í, dado que ocurre A. (orno los eventos A O/i y Bf\A son equivalentes, se si^ue del teorema 2.13 que también po¬demos escribir

P{AC\B) = P(BCiA) = P(B)P(A\B). En Otras palabras, no importa cuál evento se considera como A y cuál como fl.

Kjernplo 2.32 Suponga que tenemos una caja de fusibles que contiene 2" unida¬des, de las cuales cinco están defectuosas. si se seleccionan dos fusibles al azar y se separan de la caja uno después del otro sin reemplazar el primen», ¿cuál es la pro-habilidad de que ambos fusibles estén defectuosos?

SOLUCIÓN

Sean A el evento de que el primer fusible esté defectuoso y H el evento de que el segundo esté defectuoso; entonces interpretamos A O li como el evento de que ocu¬rra A. y entornes BOCVTK después de que ocurre /l. I a probabilidad de separar pri¬mero un fusible defectuoso es 1/4; entonces la probabilidad de separai un segundo fusible defectuoso de los restantes 4 es 4/19* Poi ello

/'Mn/í)

i

|¿

I 19"

Sección 2.7 fíeglas multiplicativas 39

Ejemplo 2.33 Una bolsa conlicnc cualro bolas blancas y tres negras, y una segun¬da bolsa contiene ires blancas y cinco negras. Se saca una bola de la primera bolsa j se coloca sin verla en la segunda. ¿Cuál es la probabilidad de que ahora se saque una bola negra de la segunda bolsa?

SOLUCIÓN

Sean fl,. B2, y IV, respectivamente, la extracción de una bola negra de la bolsa 1, una negra de la bolsa 2 y una blanca de la bolsa 1. Nos interesa la unión de los even¬tos mutuamente excluyentes BtnB2y W, n B2. Las diversas posibilidades y sus pro-babilidades se ilustran en la figura 2.8. Entonces

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