Probabilidad Y Estadística

E) PROBABILIDAD CONDICIONAL

Sea  un espacio muestral en donde se ha definido un evento E, donde p(E)0, si deseamos determinar la probabilidad de que ocurra un evento A (el que también es definido en el mismo espacio muestral), dado que E ya ocurrió, entonces deseamos determinar una probabilidad de tipo condicional, la que se determina como se muestra;



Donde:

p(AE) = probabilidad de que ocurra A dado que E ya ocurrió

p(AE) = probabilidad de que ocurra A y E a un mismo tiempo

p(E) = probabilidad de que ocurra E

Luego;

Por tanto:

Donde:

AE= número de elementos comunes a los eventos A y E

E= número de elementos del evento E

Luego entonces podemos usar cualquiera de las dos fórmulas para calcular la probabilidad condicional de A dado que E ya ocurrió.

Ejemplos:

1. Se lanza al aire dos dados normales, si la suma de los números que aparecen es de por lo menos siete, a. determine la probabilidad de que en el segundo dado aparezca el número cuatro, b. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares, c. Determine la probabilidad de que en el primer dado aparezca el numero dos.

Solución:

El espacio muestral es el mismo que cuando se lanza un dado dos veces y se muestra a continuación;

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

 = (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

a. Para calcular una probabilidad condicional es necesario definir los eventos A y E, siendo estos,

A = evento de que en el segundo dado aparezca el número cuatro,

E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete, (que es que es el evento que está condicionando)

E = 21 elementos, los que suman siete o más

(6,1)

(5,2) (6,2)

E = (4,3) (5,3) (6,3)

(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = 6 elementos, los que en el segundo dado aparece el cuatro

A = (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

Luego,

AE = (3,4) (4,4) (5,4) (6,4), AE= 4 elementos

Por tanto;

p(AE) = AE/ E= 4/21 = 0.19048

b. E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos siete

(6,1)

(5,2) (6,2)

E = (4,3) (5,3) (6,3)

(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = evento de que ambos números sean pares

(2,2) (4,2) (6,2)

A = (2,4) (4,4) (6,4)

(2,6) (4,6) (6,6)

(6,2)

AE = (4,4) (6,4) AE= 6 elementos

(2,6) (4,6) (6,6)

p(AE) = AE/ E

= 6/ 21

= 0.28571

c. E = evento de que la suma de los números que aparecen sea de por lo menos

siete

(6,1)

(5,2) (6,2)

E = (4,3) (5,3) (6,3)

(3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

(2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

A = evento de que en el primer dado aparezca el número dos

(2,1)

(2,2)

A = (2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

AE = (2,5), AE= 1 elemento

P(AE) = AE/E

= 1/21

= 0.04762

2.Se seleccionan al azar dos números de entre los números del 1 al 9, si la suma de los números que aparecen es par, a. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares, b. Determine la probabilidad de que ambos números sean impares.

Solución:

 = 9C2 = 36 maneras de seleccionar dos números de entre nueve que se tienen

(1,2)

(1,3) (2,3)

(1,4) (2,4) (3,4)

 = (1,5) (2,5) (3,5) (4,5)

(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)

(1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7)

(1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8)

(1,9) (2,9) (3,9) (4,9) (5,9) (6,9) (7,9) (8,9)

a. E = evento de que la suma de los números que se seleccionan sea par

(1,3)

(2,4)

E = (1,5) (3,5)

(2,6) (4,6)

(1,3) (3,7) (5,7)

(2,8) (4,8) (6,8)

(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

E = 16 elementos 

A = evento de que ambos números sean pares

(2,4)

A = (2,6) (4,6)

(2,8) (4,8) (6,8)

A = 6 elementos

(2,4)

AE = (2,6) (4,6)

(2,8) (4,8) (6,8)

AE = 6 elementos , p(AE) = AE/ E= 6/16 = 0.375

b. E = evento de que la suma de los números seleccionados es par

(1,3)

(2,4)

E = (1,5) (3,5)

(2,6) (4,6)

(1,3) (3,7) (5,7)

(2,8) (4,8) (6,8)

(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

A = evento de que ambos números sean impares

(1,3)

A = (1,5) (3,5)

(1,7) (3,7) (5,7)

(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

A = 10 elementos,

(1,3)

AE = (1,5) (3,5)

(1,7) (3,7) (5,7)

(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)

AE= 10 elementos; p(AE)= AE/ E= 10/16 = 0.625

Este ejercicio también puede ser resuelto haciendo uso de las combinaciones; el espacio muestral puede ser definido;

 = 9C2 = 36 maneras de seleccionar los dos números

a. E = evento de que la suma de los números seleccionados sea par

Para que la suma de dos números sea par, forzosamente ambos deben ser pares o impares, por tanto,

E = selección de dos números pares o de dos impares = 4C2 + 5C2

A = evento de que ambos números sean pares

A = 4C2 

AE = 4C2 = 6 maneras de seleccionar dos números pares 

AE= 6 elementos

p(AE) = AE/E= 6/16 = 0.375

b. E = evento de que la suma de los números seleccionados sea par

E = 4C2 + 5C2 = 16 maneras de seleccionar dos números de entre nueve

A = evento de que ambos números sean impares

A = 5C2 = 10 maneras de seleccionar dos números impares

AE= 5C2 = 10 

p(AE= AE/E=

...