QUE SON FUNCIONES

QUE SON FUNCIONES

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido"

En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

...  −2 → +4,  −1 → +1,  ±0 → ±0,   

  +1 → +1,  +2 → +4,  +3 → +9,  ... 

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:

..., Estación → E, Museo → M, Arroyo → A, Rosa → R, Avión → A, ...

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.

La manera habitual de denotar una función f es:

f: A → B

 a → f(a),

Donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; y B es el condominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y condominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:

f: Z → N

 k → k2, o sencillamente f(k) = k2;

g: V → A

 p → Inicial de p;

Si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.

Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo o ecuaciones para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función.

CLASIFICACIÓN DE LA FUNCIONES

FUNCIÓN INVERSA

Función, generalmente escrita como f-1, que invierte exactamente la representación producida por una función f dada. El "-1" de la función significa función inversa y no tiene nada que ver con el "-1" utilizado como exponente.

Por ejemplo, f(x) = x1/3 y g(x) = x3 son funciones inversas, porque g(x) siempre invierte exactamente la representación producida por f(x). Para cualquier número a, f(a) = a1/3. La operación inversa da g(f(a)) = g(a1/3) = (a1/3)3 = a.

FUNCIONES REALES

Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aun cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.

Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y".

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Es una función de la forma f(x) = ax2+ bx +c, donde a,b,c y son números reales. La grafica de la función cuadrática es una curva llamada parábola; si a es positiva, la grafica abre hacia arriba y si a es negativa la grafica abre hacia abajo.

La ecuación algebraica tiene el 2 como máximo exponente de la variable.

EJEMPLO:

Una función afín es una función de variable real definida por: y= f(x) = mx + b Donde m y b son números reales La representación de una función afín es una línea recta de pendiente m que pasa por el punto (0 , b). Si m>0, la función es creciente; si m<0, la función es decreciente.

• 2. Valores Y 6 4 2 0-4 -2 -2 0 2 4 6 Valores Y -4 -6 -8 -10 El dominio de la función afín, al igual que su rango, es R (todos los números reales)

• 3. a) y = - 3x b) y = - 2x + 3

• 4. a) y = - 3x Valores Y 8 6 4 2 0 Valores Y-3 -2 -1 -2 0 1 2 3 -4 -6 -8 Es lineal

• 5. b) y = - 2x + 3 Valores Y 10 8 6 4 Valores Y 2 0-4 -2 -2 0 2 4 -4 Es afín

FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE

• Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que

f( x1 ) < f( x2 ).

Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).

• Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1 y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ).

Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente.

Ejemplo: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = x2 en los puntos

Resolución:

• La función y = x2 es estrictamente creciente en el intervalo [0, +¥) puesto que si

Por otro lado, es estrictamente decreciente en (-¥, 0] ya que en este intervalo (al ser números negativos), si x3 < x4 Þ x32 > x42 (por ejemplo, -7 < -3 y (-7)2 > (-3)2 ). Es estrictamente decreciente en x = 0.

• Nótese cómo en x = 0 la función no es creciente ni decreciente. A la izquierda de este punto es decreciente y a la derecha es creciente.

Como pone de manifiesto este ejemplo, toda función creciente en un intervalo (respectivamente decreciente) es creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de ese intervalo.

Recíprocamente, toda función estrictamente creciente (respectivamente decreciente) en todo punto de un intervalo, es creciente (respectivamente decreciente) en todo el intervalo.

CONCLUSIÓN

Tras el estudio de las nombradas funciones matemáticas, podemos concluir en que son muy importantes tanto para las matemáticas como para muchas otras ciencias, en especial la física y la química.

El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar a lo largo del desarrollo los diferentes usos de las funciones en la vida diaria y, al haber también estudiado las ecuaciones matemáticas, nos queda un modelo que podemos aplicar frente a cierta problemática.

Bibliografía

Enciclopedia Microsoft Encarta 1999

Internet: www.altavista.com; www.yahoo.com.ar

Análisis matemático I, Notas de Teoría y práctica; 2da edición.

Enciclopedia Clarín, Tomo 20

INTRODUCCIÓN

Teniendo como consigna la investigación de las funciones matemáticas, comenzamos a interiorizarnos en el tema buscando la definición de la palabra función. Luego, nos inclinamos sobre ciertas funciones matemáticas específicas, tales como la función trigonométrica, cuadrática, logarítmica, exponencial, afín y polinómica.

Para cada una de las funciones, reconocimos sus aplicaciones sobre otras ciencias y además aprendimos los modelos de ecuaciones matemáticas, que nos permiten resolver cualquier situación que se nos presente en la vida diaria.

Obtuvimos un resultado muy positivo al finalizar la monografía, debido a que incorporamos gran cantidad de nuevos conocimientos y también descubrimos una nueva manera de enfrentar problemáticas en campos donde creíamos que la matemática era inútil.

Desde el punto de vista personal, creemos que las funciones matemáticas han facilitado la labor en muchas ciencias y son sumamente necesarias para obtener resultados precisos para cada situación.

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la educación

Liceo Nocturno Miguel Ángel Granado

Apartadero- Cojedes

Funciones

Integrantes:

Arbelys Angulo

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