SERIES DE TIEMPO

UNIDAD 5

SERIES DE TIEMPO

5.1. Modelo clásico de series de tiempo

5.2. Análisis de fluctuaciones

5.3. Análisis de tendencia

5.4. Análisis de variaciones cíclicas

5.5. Medición de variaciones estacionales e irregulares

5.6. Aplicación de ajustes estacionales

5.7. Pronósticos basados en factores de

5.8. Tendencia y estacionales.

UNIDAD 5

SERIES DE TIEMPO

5.1. Modelo clásico de series de tiempo

Un modelo clásico para una serie de tiempo, supone que una serie x(1), ..., x(n) puede ser expresada como suma o producto de tres componentes: tendencia,estacionalidad y un término de error aleatorio.

Existen tres modelos de series de tiempos, que generalmente se aceptan como buenas aproximaciones a las verdaderas relaciones, entre los componentes de los datos observados. Estos son:

1. Aditivo: X(t) = T(t) + E(t) + A(t)

2. Multiplicativo: X(t) = T(t) • E(t) • A(t)

3. Mixto: X(t) = T(t) • E(t) + A(t)

Donde:

X(t) serie observada en instante t

T(t) componente de tendencia

E(t) componente estacional

A(t) componente aleatoria (accidental)

Una suposición usual es que A(t) sea una componente aleatoria o ruido blanco con media cero y varianza constante.

Un modelo aditivo (1), es adecuado, por ejemplo, cuando E(t) no depende de otras componentes, como T(t), sí por el contrario la estacionalidad varía con la tendencia, el modelo más adecuado es un modelo multiplicativo (2). Es claro que el modelo 2 puede ser transformado en aditivo, tomando logaritmos. El problema que se presenta, es modelar adecuadamente las componentes de la serie.

La figura 2.1 ilustra posibles patrones que podrían seguir series representadas por los modelos (1), (2) y (3).

Figura 2.1

2.2 ESTIMACIÓN DE LA TENDENCIA

Supondremos aquí que la componente estacional E(t) no está presente y que el modelo aditivo es adecuado, esto es:

X(t) = T(t) + A(t), donde A(t) es ruido blanco.

Hay varios métodos para estimar T(t). Los más utilizados consisten en:

1) Ajustar una función del tiempo, como un polinomio, una exponencial u otra función suave de t.

2) Suavizar (o filtrar) los valores de la serie.

3) Utilizar diferencias.

2.2.1 AJUSTE DE UNA FUNCIÓN

Los siguientes gráficos ilustran algunas de las formas de estas curvas.

1.T(t) = a + bt (Lineal)

2.T(t) = a ebt (Exponencial)

3. T(t) = a + b ebt

(Exponencial modificada)

4.T(t) = 0 + 1t ,...,+mtm (Polinomial)

5.T(t) = exp(a + b(rt))

(Gompertz 0 < r < 1)

6. T(t) = (Logística)

Nota:

i. la curva de tendencia debe cubrir un periodo relativamente largo para ser una buena representación de la tendencia a largo plazo.

ii. La tendencia rectilínea y exponencial son aplicable a corto plazo, puesto que una curva S a largo plazo puede parecer una recta en un período restringido de tiempo (por ejemplo).

Figura 2.2

En la figura 2.2 ambas curvas (recta y Gompertz) ajustan bien pero las proyecciones divergen enormemente a largo plazo.

Ejemplo 1: En la tabla 2.1 se presentan los datos trimestrales de unidades habitacionales iniciadas en los Estados Unidos desde el tercer trimestre de 1964 hasta el segundo trimestre de 1972 [1]. (Es necesario advertir que para el análisis de tendencia el periodo que se considera debería ser más largo. Sin embargo, ya que el propósito principal es el de ilustrar el método de descomposición y las técnicas para inferir partiendo de los elementos así descompuestos, la insuficiencia de los datos no tiene por qué interesar.)

Tabla 2.1: Nuevas unidades habitacionales comenzadas en los Estados Unidos del tercer trimestre de 1964 al segundo trimestre de 1972 (en miles de unidades).

Año I II III IV Total

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