Series De Tiempo

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZUL

MATERIA:

ESTADÍSTICA INFERENCIAL

ING. JUAN PEDRO TORRES HERNÁNDEZ

UNIDAD 5:

SERIES DE TIEMPO

PRESENTAN:

LUIS RENE TORRES SERRANO

ANAHI CELESTINO HERNANDEZ

5.1. MODELO CLASICO DE SERIE DE TIEMPO

Un modelo clásico para una serie de tiempo, supone que una serie x(1), ..., x(n) puede ser expresada como suma o producto de tres componentes: tendencia, estacionalidad y un término deerror aleatorio.

Existen tres modelos de series de tiempos, que generalmente se aceptan como buenas aproximaciones a las verdaderas relaciones, entre los componentes de los datos observados. Estos son:

1. Aditivo: X(t) = T(t) + E(t) + A(t)

2. Multiplicativo: X(t) = T(t) • E(t) • A(t)

3. Mixto: X(t) = T(t) • E(t) + A(t)

Donde:

X(t) serie observada en instante t

T(t) componente de tendencia

E(t) componente estacional

A(t) componente aleatoria (accidental)

Una suposición usual es que A(t) sea una componente aleatoria o ruido blanco con media cero y varianza constante.

Un modelo aditivo (1), es adecuado, por ejemplo, cuando E(t) no depende de otras componentes, como T(t), sí por el contrario la estacionalidad varía con la tendencia, el modelo más adecuado es un modelo multiplicativo (2). Es claro que el modelo 2 puede ser transformado en aditivo, tomando logaritmos. El problema que se presenta, es modelar adecuadamente las componentes de la serie.

La figura 2.1 ilustra posibles patrones que podrían seguir series representadas por los modelos (1), (2) y (3).

Figura 2.1

5.2 ANALISIS DE FLUCTUACIONES

El primer paso en un análisis de series de tiempo, consiste en graficar los datos y observar sus tendencias en el tiempo. Primero debe determinarse si parece haber un movimiento hacia arriba o hacia abajo a largo plazo en la serie (una tendencia) o si la serie parece oscilar alrededor de una recta horizontal en el tiempo. En este caso (es decir, no hay tendencia positiva o negativa a largo plazo), puede emplearse el método de promedios móviles o el de suavización exponencial para “emparejar” la serie y proporcionar un panorama global a largo plazo. Por otro lado, si de hecho existe una tendencia, se pueden aplicar varios métodos de pronóstico de series de tiempo al manejar datos anuales, y otro método para los datos de series de tiempo mensual o trimestral. El patrón o comportamiento de los datos en una serie de tiempo tiene diversos componentes. El supuesto usual es que se combinan cuatro componentes separados: la tendencia, el cíclico, el estacional y el irregular para definir valores específicos de la serie de tiempo. Examinaremos cada uno de estos componentes. El gráfico de la serie permitirá:

a) Detectar Outlier: se refiere a puntos de la serie que se escapan de lo normal. Un outliers es una observación de la serie que corresponde a un comportamiento anormal del fenómeno (sin incidencias futuras) o a un error de medición. Se debe determinar desde fuera si un punto dado es outlier o no. Si se concluye que lo es, se debe omitir o reemplazar por otro valor antes de analizar la serie.

Por ejemplo, en un estudio de la producción diaria en una fábrica se presentó la siguiente situación ver figura 5.3:

Figura 5.3 Producción diaria

Los dos puntos enmarcados en una flecha parecen corresponder a un comportamiento anormal de la serie. Al investigar estos dos puntos se vio que correspondían a dos días de paro, lo que naturalmente afectó la producción en esos días.

El problema fue solucionado eliminando las observaciones e interpolando.

b) Permite detectar tendencia: la tendencia representa el comportamiento predominante de la serie. Esta puede ser definida vagamente como el cambio de la media a lo largo de un periodo.

c) Variación estacional: la variación estacional representa un movimiento periódico de la serie de tiempo. La duración de la unidad del periodo es generalmente menor que un año. Puede ser un trimestre, un mes o un día, etc.

Matemáticamente, podemos decir que la serie representa variación estacional si existe un número s tal que x(t) = x(t + k*s).

Las principales fuerzas que causan una variación estacional son las condiciones del tiempo, como por ejemplo:

1) en invierno las ventas de helado

2) en verano la venta de lana

3) exportación de fruta en marzo.

Todos estos fenómenos presentan un comportamiento estacional (anual, semanal, etc.)

d) Variaciones irregulares (componente aleatoria): los movimientos irregulares (al azar) representan todos los tipos de movimientos de una serie de tiempo que no sea tendencia, variaciones estacionales y fluctuaciones cíclicas.

Un modelo clásico para una serie de tiempo, supone que una serie x(1), ..., x(n) puede ser expresada como suma o producto de tres componentes: tendencia, estacionalidad y un término de error aleatorio. Existen tres modelos de series de tiempos, que generalmente se aceptan como buenas aproximaciones a las verdaderas relaciones, entre los componentes de los datos observados.

Estos son:

1. Aditivo: X(t) = T(t) + E(t) + A(t)

2. Multiplicativo: X(t) = T(t) • E(t) • A(t)

3. Mixto: X(t) = T(t) • E(t) + A(t)

donde:

X(t) serie observada en instante t

T(t) componente de tendencia

E(t) componente estacional

A(t) componente aleatoria (accidental)

Una suposición usual es que A(t) sea una componente aleatoria o ruido blanco con media cero y varianza constante. Un modelo aditivo (1), es adecuado, por ejemplo, cuando E(t) no depende de otras componentes, como T(t), sí por el contrario la estacionalidad varía con la tendencia, el modelo más adecuado es un modelo multiplicativo (2). Es claro que el modelo 2 puede ser transformado en aditivo, tomando logaritmos. El problema que se presenta, es modelar adecuadamente las componentes de la serie.

5.3 ANALISIS DE TENDENCIA

5.4 ANALISIS DE VARIACIONES CICLICAS

Aunque una serie de tiempo puede presentar una tendencia a través de periodos grandes, sus valores no caerán con exactitud sobre la línea de tendencia. De hecho, con frecuencia estas series temporales presentan secuencias alternas de puntos abajo y arriba de la línea de tendencia. Toda secuencia recurrente de puntos arriba y debajo de la línea de tendencia, que dura más de un año, se puede atribuir a un componente cíclico de la serie. La figura 5.6 es la gráfica de una serie de tiempo con un componente cíclico obvio. Las observaciones se hicieron con intervalos de un año.

Figura 5.6 Componente de tendencia y cíclico de una serie de tiempo con datos anuales

Muchas series se tiempo presentan comportamiento cíclico con tramos regulares de observaciones abajo y arriba de la línea de tendencia. En general, este comportamiento de la serie se debe a movimientos cíclicos de la economía a través de varios años. Por ejemplo, los periodos de inflación moderada seguidos de periodos de inflación rápida pueden determinar series de tiempo que se alternan abajo y arriba de una línea de tendencia ascendente en general (como la serie de tiempo de los costos de vivienda). Diversas series de tiempo de principios de la década de los ochenta presentaron este comportamiento

5.5 MEDICION DE VARIACIONES ESTACIONALES E IRREGULARES.

Mientras que la tendencia y los componentes cíclicos de una serie de tiempo se identifican analizando los movimientos de datos históricos a través de varios años, hay muchas series de tiempo que muestran un patrón regular dentro de un periodo de un año. Por ejemplo, un fabricante de albercas inflables espera poca actividad de ventas durante los meses de otoño e invierno, y ventas máximas en los de primavera y verano. Los fabricantes de equipo para la nieve y de ropa de abrigo esperan un comportamiento anual opuesto al del fabricante de albercas. No es de sorprender que el componente de la serie de tiempo que representa la variabilidad en los datos, debida a influencias de las estaciones, se llama componente estacional. Aunque uno suele imaginarse que un movimiento estacional de una serie de tiempo sucede dentro de un año, también se puede usar para representar cualquier patrón regularmente repetitivo cuya duración sea menor de un año. Por ejemplo, los datos diarios de intensidad de tráfico muestran un comportamiento “estacional” dentro del mismo día, así se tiene que el flujo máximo se presenta durante las horas de aglomeración, el moderado durante el resto del día y al caer la noche, y el mínimo a partir de la medianoche hasta temprano por la mañana. El componente irregular de la serie de tiempo es el factor residual, “mil usos”, que explica las desviaciones de la serie de tiempo real respecto a los factores determinados por los efectos de la tendencia y los componentes cíclicos y estacionales. Se debe a factores a corto plazo, imprevisibles y no recurrentes que afecta a la serie de tiempo. Como este componente explica la variabilidad aleatoria de la serie, es impredecible; de esta manera, no se puede esperar predecir su impacto sobre la serie de tiempo

5.6 APLICACIÓN DE AJUSTES ESTACIONALES.

Una aplicación frecuente de índices estacionales es la de ajustar datos de serie de tiempo observados para eliminar la influencia del componente estacional en ellos; se llaman datos con ajuste estacional. Los ajustes estacionales son particularmente pertinentes cuando se desea comparar datos de diferentes meses para determinar si ha tenido lugar un incremento (o decremento) en relación con las expectativas estacionales. Los valores de serie de tiempo mensuales (o trimestrales) observados se ajustan respecto de la influencia estacional dividiendo cada valor entre el índice mensual (o trimestral) de ese mes. El resultado se multiplica luego por 100 para mantener la posición decimal de los datos originales. La serie que resultante se llama ventas desestacionalizadas o ventas ajustadas estacionalmente.

La razón para desestacionalizar las series de ventas es similar las fluctuaciones estaciónales a fin de estudiar la tendencia y el ciclo. Para ilustrar el procedimiento, los totales trimestrales de ventas de la empresa.

Tabla 5.2 ajustes para datos trimestrales

A fin de eliminar el efecto de la variación estacional, la cantidad estacional, la cantidad de ventas para cada trimestre (que contiene efectos de tendencia, cíclicos, irregulares y estaciónales) se divide entre el índice estacional de ese trimestre; esto es, TSCI/S.

Por ejemplo, las ventas reales para el primer trimestre de 1996 fueron 6.7 millones de dólares, el índice estacional para el trimestre de invierno es 76.5 el índice 76.5 indica que las ventas en el primer trimestre normalmente se encuentran 23.5% abajo del promedio de un trimestre normal. Dividiendo las ventas reales $6.7 millones entre 76.5 y multiplicando el resultado por 100 se encuentra el valor de las ventas desestacionalizadas del primer trimestre de 1996.

El valor es $8758170 que se obtuvo de ($6700000/76.5)100. Este proceso se repite con los demás trimestres en la columna 3 de la tabla 5.2 y los resultados se dan en millones de dólares. Puesto que la componente estacionalizadas contiene solo las componentes de tendencia (T), ciclo © e irregular (I). Al revisar las ventas desestacionalizadas. Es claro que la eliminación del factor estacional permite considerar la tendencia general a largo plazo de las ventas. También se podrá determinar la ecuación de regresión de los datos de tendencia y usarla para pronosticar ventas futuras.

5.7 PRONOSTICOS BASADOS EN FACTORES DE TENDENCIA Y ESTACIONALES

Como lo indicamos anteriormente el primer pasó en un análisis de series de tiempo, consiste en graficar los datos y observar sus tendencias en el tiempo. Primero debe determinarse si parece haber un movimiento hacia arriba o hacia abajo a largo plazo en la serie (una tendencia) o si la serie parece oscilar alrededor de una recta horizontal en el tiempo. En este caso (es decir, no hay tendencia positiva o negativa a largo plazo), se recomienda antes de aplicar alguno de los métodos de pronostico ¨suavizar¨ nuestros datos a fin de que la tendencia se observe de manera clara.

Los métodos que pueden emplearse para suavizar nuestros datos usualmente son:

a) El método de promedios móviles

b) El método de suavización exponencial

El objetivo de ambos métodos es el de “emparejar” la serie y proporcionar un panorama global a largo plazo. Por otro lado, si de hecho existe una tendencia, se pueden aplicar varios métodos de pronóstico de series de tiempo al manejar datos anuales, y otro método para los datos de series de tiempo mensual o trimestral, los cuales se verán posteriormente.

Suavización de una serie de tiempo anual La tabla 5.3 presenta las ventas mundiales de una fábrica (en millones de unidades) de automóviles, camiones y autobuses hechos por General Motors Corporation (GM). Para un periodo de 24 años, de 1975 a 1998, y la figura 5.7 es una gráfica de serie de tiempo de estos datos. Al examinar este tipo de datos anuales, la impresión visual de las tendencias globales a largo plazo o movimientos de tendencia en la serie quedan veladas por la cantidad de variación de un año a otro. Entonces se vuelve difícil juzgar si en esta serie en realidad existe un efecto de tendencia positivo o negativo a largo plazo.

5.3 Ventas de fábrica (en millones de unidades) Para la General Motors Corporation (1975-1998)

En situaciones como éstas, se pueden usar el método de promedios móviles o la suavización exponencial para suavizar o emparejar la serie de tiempo y proporcionar un panorama global del patrón de movimiento de los datos en el tiempo.

Figura 5.7 Gráfica de las ventas de fábrica (en millones de unidades)

Para la General Motors Corporation (1975-1998)

Promedios móviles

El método de promedios móviles para suavizar una serie de tiempo es muy subjetivo y dependiente de L, la longitud del periodo seleccionado para calcular los promedios. Para eliminar las fluctuaciones cíclicas, el periodo elegido debe ser un valor entero que corresponda a (o sea múltiplo de) la longitud promedio estimada de un ciclo en una serie. Los promedios móviles para un promedio determinado de longitud L consiste en una serie de promedios aritméticos en el tiempo tales que cada uno se calcula a partir de una secuencia de L valores observados. Estos promedios móviles se representan por el símbolo PM (L)

A manera de ejemplo, suponga que se desea calcular promedios móviles de 5 años de una serie que contiene n = 11 años. Como L = 5, los promedios móviles de 5 años consisten en una serie de medidas obtenidas en el tiempo al promediar secuencias consecutivas de cinco valores observados. El primer promedio móvil de 5 años se calcula con la suma de los valores para los primeros 5 años en la serie, dividida entre 5.

El segundo promedio móvil de 5 años se calcula con la suma de los valores de los años

2 a 6 en la serie, dividida entre 5

Este proceso continúa hasta calcular el último promedio móvil de 5 años con la suma de los valores de los últimos 5 años en la serie (años del 7 al 11), dividida entre 5.

Cuando se trata de una serie de tiempo anual, L, la longitud del periodo elegido para construir los promedios móviles, debe ser un número de años impar. Al seguir esta regla se observa que no se pueden obtener promedios móviles para los primeros (L –1)/2 años o los últimos (L -1)/2 años en la serie. Entonces, para un promedio móvil de 5 años, no es posible hacer cálculos para los primeros 2 años o los últimos 2 años de la serie.

Al graficar los promedios móviles, cada valor calculado se coloca en el año a la mitad de la secuencia de años usada para calcularlos. Si n = 11 y L = 5, el primer promedio móvil se centra en el tercer año, el segundo promedio móvil se centra en el cuarto año y el último en el noveno año.

Esto se ilustra en el siguiente ejemplo:

Suponga que los siguientes datos representan los ingresos totales (en millones de dólares constantes de 1995) de una agencia donde se rentan automóviles, en un intervalo de 11 años de 1987 a 1997:

4.0 5.0 7.0 6.0 8.0 9.0 5.0 2.0 3.5 5.5 6.5

Calcule los promedios móviles de 5 años para esta serie de tiempo anual.

Solución

El primer promedio móvil de 5 años es

Es decir, para calcular un promedio móvil de 5 años, primero se obtiene la suma de los cinco años y se divide entre 5. Después el promedio se centra en el valor medio, el tercer año de esta serie de tiempo. Los siguientes valores quedan de la siguiente manera:

Estos promedios móviles se centran en sus respectivos valores medios, el quinto, sexto y séptimo años de la serie de tiempo. Se observa que al obtener promedios móviles de 5 años, no se pueden calcular los valores para los primeros dos y los últimos dos valores de la serie de tiempo.

En la práctica, al obtener promedios móviles se debe usar un programa de computadora como Microsoft Excel o Minitab para evitar los cálculos tediosos. La tabla 5.4 y 5.5 presenta las ventas anuales de la fábrica (General Motors) que ampara el periodo de 24 años de 1975 a 1998 junto con los cálculos para los promedios móviles de 3 y 7 años. La gráfica de las dos series construidas se presenta en la figura 5.8 y 5.9 con los datos originales.

Se observa en la tabla 5.4 que al obtener los promedios móviles de 3 años, no se pueden calcular valores para el primero o el último valor en la serie de tiempo.

Tabla 5.4 promedios móviles de 3 y 7 años obtenida con Microsoft Excel

Figura 5.8 grafica de promedios móviles de 3 y 7 años.

Tabla 5.5 promedios móviles de 3 y 7 años obtenida con Minitab

Figura 5.9 Gráfica de promedios móviles de 3 y 7 años en Minitab

Suavización exponencial

La suavización exponencial es otra técnica que se usa para alisar una serie de tiempo y proporcionar una visualización global de los movimientos a largo plazo de los datos. Además, se puede usar el método de suavización exponencial para obtener pronósticos a corto plazo (un periodo futuro) para series de tiempo.

El método de suavización exponencial obtiene su nombre del hecho de que proporciona un promedio móvil con ponderación exponencial a través de la serie de tiempo. En toda la serie, cada cálculo de suavización o pronóstico depende de todos los valores observados anteriores. Ésta es otra ventaja respecto al método de pronósticos móviles, que no toma en cuenta todos los valores observados de esta manera. Con la suavización exponencial, los pesos asignados a los valores observados decrecen en el tiempo, de manera que al hacer un cálculo, el valor observado más reciente recibe el peso más alto, el valor observado anterior tiene el siguiente peso más alto, y así sucesivamente, por lo que el valor observado inicial tiene la menor ponderación. Aunque la magnitud de los cálculos involucrados puede parecer enorme, la suavización exponencial al igual que los métodos de promedios móviles está disponible entre los procedimientos de Microsoft Excel y Minitab.

Si se centra la atención en los aspectos de suavización de la técnica (más que en el aspecto del pronóstico), las fórmulas desarrolladas para suavizar exponencialmente una serie en un periodo dado i se basa en sólo tres términos: el valor observado actual en la serie de tiempo, valor con suavización exponencial calculado anterior E i-1 y un peso subjetivo asignado o coeficiente de suavización W. Así, para alisar una serie en cualquier periodo i, se tiene la siguiente expresión.

Obtención de un valor que tiene suavización exponencial en el periodo i

Donde:

EI = valor de la serie suavizada exponencialmente que se calcula en el periodo i

EI – 1 = valor de la serie suavizada exponencialmente que se calcula en el periodo i – 1

Yi = valor observado de la serie de tiempo en el periodo i

W = peso subjetivo asignado o coeficiente de suavización (donde 0 < W < 1)

E1 = Y1

La elección del coeficiente de suavización o peso que se asigna a la serie de tiempo es crítica porque afectará en forma directa los resultados. Es desafortunado que esta selección sea subjetiva. Si se desea sólo suavizar una serie con la eliminación de la variación cíclica y la irregular, debe elegirse un valor pequeño para W (cercano a 0). Por otro lado, si la meta es pronosticar, debe elegirse un valor grande para W (más cercano a 1). En el primer caso, se podrán observar las tendencias globales a largo plazo de la serie; en el último caso, es posible predecir direcciones futuras a corto plazo de manera más adecuada.

Los cálculos de la suavización exponencial se ilustra para un coeficiente de suavización de W = 0.25. Como punto de partida, se utiliza el valor observado inicial (tabla 5.3), Y1975 = 6.6 como el primer valor de suavización (E1975 = 6.6) Después, con el valor observado de la serie de tiempo para el año 1976 (Y1976 = 8.6), se suaviza la serie para el año de 1976 con el cálculo

Ei = WYi+ (1-W) Ei-1

E1976 = WY1976 + (1 – W) E1975 = (0.25)(8.6) + (0.75)(6.6) = 7.10 millones

E1977 = WY1977 + (1 – W) E1976 = (0.25)(9.1) + (0.75)(7.1) = 7.6

E1978 = WY1978 + (1 – W) E1977 = (0.25)(9.5) + (0.75)(7.6) = 8.08

Este proceso continúa hasta obtener los valores de la suavización exponencial para los 24 años en la serie de las ventas anuales de la fábrica (General Motors), como se muestra en la tabla 5.6 y 5.7, y las figuras 5.10 y 5.11

Tabla 5.6 Serie suavizada exponencialmente de las ventas de GM obtenida con Microsoft Excel

Figura 5.10 Gráfica de una serie suavizada exponencialmente

(W = 0.50 y W = 0.25) para las ventas de GM

Tabla 5.7 Serie suavizada exponencialmente de las ventas de GM obtenida con Minitab

Figura 5.11 Gráfica de una serie suavizada exponencialmente (W = 0.50 y W = 0.25) para las ventas de

GM en Minitab

Proyección de tendencias

Para pronosticar una serie de tiempo que tiene una tendencia lineal a largo plazo. El tipo de serie de tiempo para el cual se aplica el método de proyección de tendencias presenta un aumento o disminución consistentes a través del tiempo; y no es estable como para aplicar los métodos de suavizamiento analizados en la sección anterior.

Veamos la serie de tiempo de ventas de bicicletas de determinado fabricante durante los últimos 10 años, que se muestran en la tabla 5.8 y en la figura 5.12. Observe que en el primer año se vendieron 21 600 bicicletas, en el segundo, 22 900, y así sucesivamente. En el décimo año, el más reciente, se vendieron 31 400 bicicletas. Aunque la figura 5.12 muestra algo de movimiento hacia arriba y hacia abajo durante los 10 años, parece que la serie de tiempo tiene una tendencia general de aumento o crecimiento

Tabla 5.8 Serie de tiempo de venta de bicicletas

Figura 5.12 Serie de tiempo de venta de bicicletas

En este caso no se trata de que el componente de tendencia de una serie de tiempo siga cada aumento y disminución; más bien ese componente debe reflejar el desplazamiento gradual, que para este caso es el crecimiento, de los valores de la serie de tiempo.

Después de examinar los datos de la serie de tiempo en la tabla 5.8 y en la gráfica de la figura 5.12 concordamos que con una tendencia líneas, como la que muestra la figura 5.13, se obtiene una descripción razonable del movimiento en la serie a largo plazo.

Vamos a emplear los datos de ventas de bicicletas para ilustrar los cálculos del análisis de regresión, a fin de identificar una tendencia lineal. Recuerde que en la descripción de la regresión lineal simple, describimos cómo se aplica el método de mínimos cuadrados para determinar la mejor relación lineal entre dos variables; tal metodología es la que usaremos para definir la línea de tendencia para la serie de tiempo de ventas de bicicletas. En forma específica, aplicaremos el análisis de regresión para estimar la relación entre el tiempo y el volumen de ventas.

Figura 5.13 Tendencias de las ventas de bicicletas, representada por una función lineal

La ecuación de regresión que describe una relación lineal entre una variable independiente, x, y una variable dependiente, y, es:

Para enfatizar que el tiempo es la variable independiente en los pronósticos, usaremos en la ecuación en lugar de x; además, usaremos T1 en lugar de . Así para una tendencia lineal, el volumen estimado de ventas, expresado en función del tiempo, se puede escribir como sigue:

Donde:

T1 = valor de la tendencia de la serie de tiempo en el periodo

b0= ordenada al origen de la línea de tendencia

b1= pendiente de la línea de tendencia

t= tiempo

En esta ecuación igualaremos t = 1 para el tiempo en que se obtiene el primer dato de la serie de tiempo, t= 2 para el tiempo del segundo dato y así sucesivamente.

Observe que, para la serie de tiempo de ventas de bicicletas, t = 1 correspondiente al valor más antiguo de esa serie y t = 10 al más reciente.

Las fórmulas para calcular los coeficientes estimados de regresión, b0 y b1, en la ecuación que se muestra a continuación.

Donde:

Yt= valor de la serie de tiempo en el periodo t

n= número de periodos

Ẏ= valor promedio de la serie de tiempo,

ṫ= valor promedio de

Con las ecuaciones anteriores y los datos de las ventas de bicicletas de la tabla

5.8 podemos calcular b0 y b1como sigue:

Por consiguiente,

Es la ecuación del componente de tendencia lineal para la serie de tiempo de ventas de bicicletas. La pendiente 1,1 indica que, durante los últimos 10 años, la empresa ha tenido un crecimiento promedio de ventas igual a 1100 unidades anuales, aproximadamente. Si suponemos que la tendencia en los 10 años pasados es un buen indicador del futuro, aplicamos la ecuación para proyectar el componente de tendencia de la serie de tiempo. Por ejemplo, al sustituir t = 11 en esa ecuación, se obtiene la proyección de tenencia para el año próximo, T11

Así sólo con el componente de tendencia pronosticaríamos ventas de 32 500 bicicletas para el próximo año.

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