Series De Tiempo Y Números Índice

Tema 1: Series de tiempo

1. Introducción

Una serie de tiempo está dado por un conjunto de observaciones que están ordenadas en el tiempo, y que estas pueden representar el cambio de una variable ya sea de tipo económica, física, química, biológica, etc. a lo largo esa historia.

El objetivo del análisis de una serie de tiempo es el conocimiento de su patrón de comportamiento, para así poder prever su evolución en el futuro cercano, suponiendo, por supuesto, que las condiciones no variarán significativamente.

Los pronósticos que se puedan realizar en base al análisis de este tipo de datos servirán para el desarrollo de nuevos planes para inversiones en agricultura; por ejemplo, elaboración de nuevos productos por parte de las empresas, prevención de desastres por cambios en el clima, o captar turistas para la ciudad.

2. Definición

Una serie tiempo es una secuencia de observaciones, medidos en determinados momentos del tiempo, ordenados cronológicamente y, espaciados entre sí de manera uniforme, así los datos usualmente son dependientes entre sí.

3. Tendencia en series de tiempo

Se puede definir como un cambio a largo plazo que se produce en la relación al nivel medio, o el cambio a largo plazo de la media. La tendencia se identifica con un movimiento suave de la serie a largo plazo.

4. Pasos para realizar cualquier serie de tiempo

El primer paso en el análisis de series de tiempo, consiste en graficar la serie. Esto nos permite detectar las componentes esenciales de la serie.

El gráfico de la serie permitirá:

a) Detectar Outlier: se refiere a puntos de la serie que se escapan de lo normal. Un outliers es una observación de la serie que corresponde a un comportamiento anormal del fenómeno (sin incidencias futuras) o a un error de medición.

Se debe determinar desde fuera si un punto dado es outlier o no. Si se concluye que lo es, se debe omitir o reemplazar por otro valor antes de analizar la serie.

Por ejemplo, en un estudio de la producción diaria en una fabrica se presentó la siguiente situación ver figura 1.1:

Figura 1.1

Los dos puntos enmarcados en un círculo parecen corresponder a un comportamiento anormal de la serie. Al investigar estos dos puntos se vio que correspondían a dos días de paro, lo que naturalmente afectó la producción en esos días. El problema fue solucionado eliminando las observaciones e interpolando.

b) Permite detectar tendencia: la tendencia representa el comportamiento predominante de la serie. Esta puede ser definida vagamente como el cambio de la media a lo largo de un periodo (ver figura 1.2).

Figura 1.2

c) Variación estacional: la variación estacional representa un movimiento periódico de la serie de tiempo. La duración de la unidad del periodo es generalmente menor que un año. Puede ser un trimestre, un mes o un día, etc (ver figura 1.3).

Matemáticamente, podemos decir que la serie representa variación estacional si existe un número s tal que x(t) = x(t + k×s).

Las principales fuerzas que causan una variación estacional son las condiciones del tiempo, como por ejemplo:

1) en invierno las ventas de helado

2) en verano la venta de lana

3) exportación de fruta en marzo.

Todos estos fenómenos presentan un comportamiento estacional (anual, semanal, etc.)

Figura 1.3

d) Variaciones irregulares (componente aleatoria): los movimientos irregulares (al azar) representan todos los tipos de movimientos de una serie de tiempo que no sea tendencia, variaciones estacionales y fluctuaciones cíclicas.

5. Modelos clásicos de series de tiempo

Un modelo clásico para una serie de tiempo, supone que una serie x(1), ..., x(n) puede ser expresada como suma o producto de tres componentes: tendencia, estacionalidad y un término de error aleatorio.

Existen tres modelos de series de tiempos, que generalmente se aceptan como buenas aproximaciones a las verdaderas relaciones, entre los componentes de los datos observados. Estos son:

1. Aditivo: X(t) = T(t) + E(t) + A(t)

2. Multiplicativo: X(t) = T(t) • E(t) • A(t)

3. Mixto: X(t) = T(t) • E(t) + A(t)

Dónde:

X(t) serie observada en instante t

T(t) componente de tendencia

E(t) componente estacional

A(t) componente aleatoria (accidental)

Una suposición usual es que A(t) sea una componente aleatoria o ruido blanco con media cero y varianza constante.

Un modelo aditivo (1), es adecuado, por ejemplo, cuando E(t) no depende de otras componentes, como T(t), sí por el contrario la estacionalidad varía con la tendencia, el modelo más adecuado es un modelo multiplicativo (2). Es claro que el modelo 2 puede ser transformado en aditivo, tomando logaritmos.

5.1. Modelos de descomposición

El modelo de descomposición de series de tiempo puede ser usado para identificar tales componentes, re ensamblando las partes para construir un pronóstico. Estos modelos se encuentran entre las más antiguas técnicas de pronóstico aunque continúan vigentes. Su popularidad se debe a tres factores principales:

• En muchas situaciones reales proporciona excelentes pronósticos

• Son fáciles de entender y de explicar al usuario del pronóstico, esto aumenta la probabilidad de que el pronóstico será correctamente interpretado y usado apropiadamente.

• La información de series de tiempo proporcionada por la descomposición de series de tiempo es consistente con la manera en que la alta dirección tiende a observar los datos y ayuda a obtener factores de medición que de otra manera no podrían ser cuantificados. El modelo clásico de descomposición de series de tiempo puede ser representado por la siguiente ecuación algebraica:

Y= La variable a ser pronosticada

T= Es el término que define la tendencia de datos

S= Es el factor de estacionalidad

C= Es el factor de ajuste cíclico

I= Variaciones aleatorias

6. Estimación de la tendencia

Supondremos aquí que la componente estacional E(t) no está presente y que el modelo aditivo es adecuado, esto es:

X(t) = T(t) + A(t), dónde A(t) es ruido blanco.

Hay varios métodos para estimar T(t). Los más utilizados consisten en:

1) Ajustar una función del tiempo, como un polinomio, una exponencial u otra función suave de t.

2) Suavizar (o filtrar) los valores de la serie.

3) Utilizar diferencias.

6.1. Ajuste de una función

Los siguientes gráficos ilustran algunas de las formas de estas curvas.

1. T(t) = a + bt (Lineal)

2. T(t) = a ebt (Exponencial)

3. T(t) = a + b ebt

(Exponencial modificada)

4. T(t) = b0 + b1t ,...,+ bmtm (Polinomial)

5. T(t) = exp(a + b(rt))

(Gompertz 0 < r < 1)

6. T(t) = (Logística)

Nota:

I. La curva de tendencia debe cubrir un periodo relativamente largo para ser una buena representación de la tendencia a largo plazo.

II. La tendencia rectilínea y exponencial son aplicable a corto plazo, puesto que una curva S a largo plazo puede parecer una recta en un período restringido de tiempo (por ejemplo).

Figura 2.2

En la figura 2.2 ambas curvas (recta y Gompertz) ajustan bien pero las proyecciones divergen enormemente a largo plazo.

Ejemplo: En la tabla 2.1 se presentan los datos trimestrales de unidades habitacionales iniciadas en los Estados Unidos desde el tercer trimestre de 1964 hasta el segundo trimestre de 1972 [1]. (Es necesario advertir que para el análisis de tendencia el periodo que se considera debería ser más largo. Sin embargo, ya que el propósito principal es el de ilustrar el método de descomposición y las técnicas para inferir partiendo de los elementos así descompuestos, la insuficiencia de los datos no tiene por qué interesar.)

Tabla 2.1: Nuevas unidades habitacionales comenzadas en los Estados Unidos del tercer trimestre de 1964 al segundo trimestre de 1972 (en miles de unidades).

Año I II III IV Total Anual

1964 398 352

1965 283 454 392 345 1,474

1966 274 392 290 210 1,166

1967 218 382 382 340 1,322

1968 298 452 423 372 1,545

1969 336 468 387 309 1,500

1970 264 399 408 396 1,467

1971 389 604 579 513 2,085

1972 510 661

Fuente: U.S. Department of Comerse, Survey of Current Bussiness.

Sea t cada uno de los 32 trimestres que van de 1964 a 1972, o sea que t = 1 para el tercer trimestre de 1964, t = 2 para el cuarto trimestre, y así sucesivamente.

Así que el dominio de definición de t es el conjunto de los enteros de 1 a 32 inclusive. Sea T(t) las iniciaciones de viviendas trimestralmente. Los valores de t y T(t) se dan en la tabla 2.2. Para calcular los valores de a y de b en la recta de tendencia:

T(t) = a + bt

Se obtienen las siguientes cifras a partir de los datos de la tabla 2.1.

Tabla 2.2: Cálculo de la tendencia de las viviendas comenzadas en los Estados Unidos del tercer trimestre de 1964 al segundo trimestre de 1972

Año trimestre t T(t) Tendencia

1964: 3 1 398 291,73

4 2 352 298,07

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