Suavizado exponencial en modelos de tendencia lineal

5.2 suavizado exponencial en modelos de tendencia lineal

Como ya se indicó, el procedimiento descrito en las secciones anteriores se queda atrás cuando hay una tendencia continua. Supóngase que el proceso generador de las series de tiempo observadas se puede representar por una tendencia lineal superpuesta con fluctuaciones aleatorias y la tendencia lineal tiene pendiente B. la pendiente se llama factor de tendencia y en el ejemplo de las bicicletas representa la unidades por periodo que crecen o decrecen las ventas esperadas. El modelo se puede representar por:

Xt=A+Bt+℮t

En donde Xt es la variable aleatoria que se observa en el tiempo t, A es una constante, B es el factor de tendencia y ℮t es el error aleatorio que ocurre en el tiempo t (que con frecuencia se supone que tiene valor esperado igual a cero o variancia constante). En el modelo anterior (nivel constante) el pronóstico para el periodo t+1, basado en datos de periodos anteriores, es el mismo que los pronósticos para los periodos t+1+m, para m=1,2… para los modelos de tendencia lineal, esta afirmación ya no se cumple. Entonces, en lugar de hacer referencias inmediatas a los pronósticos, se introducirá el concepto de nivel “suavizado”. Si Χ1 es el valor observado de la serie de tiempo en el tiempo t, entonces un nivel “suavizado” en el tiempo t, St, será una combinación lineal de Xt y el valor “suavizado” en el periodo anterior t-1 corregido por la tendencia (pendiente) que se le suma para indicar el paso de una unidad de tiempo; es decir,

St = αxt + (1-α) (St-1 +B).

Ahora se puede obtener el pronóstico para el tiempo t+1:

Ft+1 =St + B.

Desafortunadamente, la tendencia (pendiente) B es desconocida, por lo que tendrá que estimarse; de nuevo se puede usar el suavizamiento exponencial para esto, es decir,

Bt = β (St-St-1) + (1-β) Bt-1,

En donde Bt es el valor “suavizado” de la tendencia al final del periodo t y 0 < β < 1 es otra constante de suavizado (quizá diferente de α)1. Ahora el nivel suavizado en el tiempo St se puede expresar como

St = αxt + (1-α) (St-1 +Bt-1),

Y el pronóstico para los próximos m periodos, m=1,2,… está dado por

Ft+m = St + mBt.

Los procedimientos de pronósticos se pueden resumir como sigue.

1. Si se usa el valor de la serie de tiempo al final de t-esimo periodo, xt, el nivel del suavizado de la serie de tiempo en el tiempo t-1, St-1, y el valor suavizado de la tendencia al final del periodo t-1, Bt-1, el nivel suavizado de la serie de tiempo en el tiempo t está dado por

St = αxt + (1-α) (St-1 +Bt-1)

2. A partir del nivel suavizado de la serie de tiempo en el tiempo t, St (calculando en el paso 1), el nivel suavizado de la serie de tiempo en el tiempo t-1, St-1, y el valor

Si se deseara un pronóstico para el segundo periodo (hecho al final del primero) el resultado sería:

F2 =S1 + B1 = 2845+99.5=2945.

De manera similar, si se deseara un pronóstico para el tercer periodo (hecho al final del segundo periodo), el resultado sería:

F3 =S2 + B2 = 2943+99.4=3042

5.3 Errores en los pronósticos.

Se han presentado varias técnicas de pronóstico junto con los distintos modelos en que se basan. ¿Cuál es la comparación entre estas técnicas, en particular cuando no se conoce el proceso generador, circunstancia común en la práctica? Es necesario contar con alguna medida de desempeño.

El error de pronóstico, Et, se define como la diferencia entre el valor observado de la serie de tiempo en el periodo t y el pronóstico para el periodo t, es decir,

Et =xt –Ft

El error de

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