Sucesiones

Sucesiones

Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.

a1, a2, a3,..., an

3, 6, 9,..., 3n

Los números a1, a2, a3,...; se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Sucesiones infinita, definición y propiedades.

Una sucesión infinita es aquella sucesión que sigue para siempre.

Ejemplo:

1, 2, 3, 4,...} Es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35,...} También es una sucesión infinita

{1, 3, 5, 7} Es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)

{4, 3, 2, 1} Va de 4 a 1 hacia atrás

{1, 2, 4, 8, 16, 32,...} Es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término.

Propiedades.

* Asociativa:

(An • bn) • c n = an • (bn • c n)

* Conmutativa:

An • bn = bn • a n

* Elemento neutro

(1) = (1, 1, 1, ..)

An • 1 = an

* Distributiva respecto a la suma

An • (bn + c n) = an • bn + an • c n

Series

Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como donde n es el índice final de la serie.

Series infinita.

Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,

Criterios de convergencia

Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge ( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de qué tipo es (convergente o divergente).

Condición del resto

Para que una serie sea divergente, una condición suficiente es que.

Esta afirmación es muy útil, ya que nos ahorra trabajo en los criterios cuando el límite es distinto de cero.

Criterio de D'Alembert o Criterio del Cociente

Sea una serie, tal que ak > 0 (serie de términos positivos).

Si existe

Con, el Criterio de D'Alembert establece que:

* si L < 1, la serie converge.

* si L > 1, entonces la serie diverge.

* si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy

Sea una serie , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

, siendo

Entonces, si:

* L < 1, la serie es convergente.

* L > 1 entonces la serie es divergente.

* L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Raabe, o de comparación, para ver si podemos llegar a alguna conclusión.

Criterio de Raabe

En algunas series, puede ocurrir que ni el criterio de D'Alembert ni el de la raíz nos permitan determinar la convergencia o divergencia de la serie, entonces recurrimos al criterio de Raabe.

Sea una serie, tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe

, siendo

Por tanto, si L > 1, entonces la serie es convergente y si L < 1, la serie es divergente

Se debe tener cuidado aquí, pues las conclusiones son al contrario que en los criterios de D'Alembert y de la raíz.

Criterio de la integral de Cauchy

Si f(x) es una función positiva y monótonamente decreciente definida en el intervalo [1, ∞) tal que f(n) = an para todo n, entonces converge si y sólo si es finita.

Más generalmente, y para el tipo de función definida antes, pero en un intervalo [N, ∞), la serie

Converge si y sólo si la integral

Converge.

Criterio de condensación de Cauchy

Sea una serie monótona de números positivos decrecientes. Converge si y sólo si la serie

Converge.

Criterio de Leibniz

Una serie de la forma (con) se llama alternada. Tal serie converge si se cumplen las siguientes condiciones:

a) para n par y

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