TEMA 3: FUNCIONES TRASCENDENTES ELEMENTALES

TEMA 3: FUNCIONES TRASCENDENTES ELEMENTALES

En el análisis real, se definieron funciones algebraicas (sumas productos, cocientes, potencias,...) y funciones trascendentes como las trigonométricas, hiperbólicas, exponenciales e inversas de estas tres.

Ya se han citado en el Tema 1, funciones algebraicas.

Se trata ahora de extender las funciones trascendentes reales al plano complejo, es decir, definir funciones complejas de variable compleja, de forma que su restricción al caso de valores reales de la variable coincida con la función real del mismo nombre. Se pretende además que en el dominio en el que la función sea derivable, la expresión formal de la derivada coincida con la de la correspondiente función real.

1. LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

a) Introducción

Se trata de definir la función “exponencial compleja” [pic 1] [pic 2]C, de forma que para todo [pic 3] real coincida con la función exponencial real. También se desea que la expresión de su derivada sea, como en el caso real: [pic 4]. Y que se cumpla la propiedad más importante de la función exponencial real: la ley de exponentes.

La función exponencial [pic 5] se denota también [pic 6].  Para que se mantenga la ley de exponentes, habrá de ser:                [pic 7]        

Queda por tanto definir [pic 8].  Si se define [pic 9],  resulta:  [pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

Se cumpliría entonces la ley de exponentes.

b) Definición

“Si [pic 13], se define la función exponencial, y se denota indistintamente [pic 14] o [pic 15]como:

[pic 16]                (3.1) 

donde  y se expresa en radianes”

c) Propiedades

Las siguientes propiedades se deducen directamente de la definición de [pic 17].

1. Para  z = x, el valor de la función exponencial compleja coincide con el valor   de la exponencial real.

1. La función exponencial está definida y es continua [pic 18]C
2. De la definición se deduce: [pic 19]; [pic 20] ( en radianes )

1. La función exponencial es entera y         [pic 21]

Pues es [pic 22]       [pic 23]   [pic 24]

Además  ux , uy , vx , vy  son continuas en [pic 25]. Luego [pic 26]  es analítica

[pic 27]C, es decir [pic 28] es entera, siendo su derivada:

[pic 29]

1. [pic 30]        [pic 31],[pic 32]C

Pues ambos miembros tienen el mismo módulo [pic 33] y el mismo

argumento [pic 34]

1. [pic 35]        [pic 36],[pic 37]C

Pues ambos miembros tienen el mismo módulo [pic 38] y el mismo

argumento [pic 39]

1. [pic 40]

Ambos miembros tienen el mismo módulo [pic 41] y el mismo argumento  -y.

1. [pic 42]        [pic 43]Z

Ambas tienen el mismo módulo [pic 44] y el mismo argumento ny

1. [pic 45]                [pic 46]C

Pues [pic 47]

1. ∙  [pic 48]                [pic 49]

∙  [pic 50]

∙  Si [pic 51]Z es [pic 52] y recíprocamente: [pic 53]   [pic 54]Z

                    Pues [pic 55]

                    Recíproco: Si [pic 56]

      ∙  [pic 57]   [pic 58]Z

1. [pic 59] es periódica con periodo [pic 60]

Pues [pic 61]

1. [pic 62]    [pic 63]                                        (3.2)

1. [pic 64]    ( De la definición )

1. Fórmulas de Euler: De la definición es [pic 65]

Luego:   [pic 66]    [pic 67]

d) Expresión para los números complejos

Se escribían los complejos en forma trigonométrica: [pic 68]

Por tanto, todo número complejo [pic 69] puede escribirse en la forma: [pic 70] donde [pic 71]   y   [pic 72].

Con esta representación, las expresiones de un producto, cociente o potencia natural, toman las formas simples:

[pic 73]  ;   [pic 74]  ;  [pic 75]

e) Representación de la función exponencial

El recorrido de la función exponencial es C[pic 76], es decir, [pic 77] C[pic 78],

...