Teoria De Conjuntos

Teoría de conjuntos

• Definición

En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.1 Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos. Por ejemplo:

S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}

• Elemento

En teoría de conjuntos, un elemento o miembro de un conjunto (o familia de conjuntos) es un objeto atómico que forma parte de ese conjunto (o familia).

Al escribir , estamos diciendo que los elementos del conjunto son los números 1, 2, 3 y 4. Un grupo de elementos de sería, por ejemplo, , el cual es un subconjunto de .

Los elementos pueden ser conjuntos en sí mismos. Por ejemplo, consideremos el conjunto . Los elementos de no son 1, 2, 3, y 4; en efecto, tiene sólo tres elementos: 1, 2 y el conjunto .

Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa. Por ejemplo, , es el conjunto cuyos elementos son los colores rojo, verde y azul.

• Pertenencia y No Pertenencia

Es la relación que existe entre un elemento y un conjunto, así, un elemento pertenece al conjunto, y se representa de esta forma.

Ejemplo, A = {x/x es dedo de la mano}B= índice, entonces

B ∈ A

Cuando un elemento no está en el conjunto dicho elemento no pertenece al conjunto, y se representa de la siguiente manera

∉

Ejemplo, A = {x/x es mes del año} B= índice, entonces

B ∉ A

• Determinación de conjunto

Un conjunto puede determinarse de dos formas:

1. Por extensión:

Escribiendo dentro de una llave los nombres de los elementos del conjunto.

2. Por comprensión:

Escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de los elementos del conjunto y solamente de ellos.

Ejemplo: El conjunto de los meses del año se nombra:

Por extensión:

{Enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre}

Por comprensión:

{Meses del año}, o bien, de esta otra forma: {x/x es un mes del año}, que se lee: conjunto de elementos x tales que x es un mes del año.

Ejemplo: El conjunto dedos de la mano se nombra

Por extensión:

{Pulgar, Índice, Mayor, Anular, meñique}

Por comprensión:

{Dedos de la mano}, o bien, de esta otra forma:{x/x es dedo de la mano}, que se lee: conjunto de elementos x tales que x es un dedo de la mano.

• Conjuntos especiales

 Conjunto universo

Se denomina así al conjunto que contiene a todos los elementos. Este conjunto depende del problema que se estudia, es un conjunto cuyo objeto de estudio son los subconjuntos del mismo.

Propiedades

• Todo conjunto A es subconjunto de U:

• Para todo conjunto A, la unión de A con el conjunto universal de U:

• Para todo conjunto A, la intersección de A con el conjunto universal resulta el mismo conjunto:

• El complemento del conjunto universal es el conjunto vacío:

• El conjunto universal es el complemento del conjunto vacío:

 Conjunto vacio

En matemáticas, específicamente en teoría de conjuntos, el conjunto vacío es el conjunto que no contiene ningún elemento. Puesto que lo único que define a un conjunto son sus elementos, el conjunto vacío es único.

El conjunto vacío es denotado por los símbolos:

• Para todo conjunto A, el conjunto vacío es subconjunto de A:

• Para todo conjunto A, la unión de A con el conjunto vacío es A:

• Para todo conjunto A, la intersección de A con el conjunto vacío resulta en el conjunto vacío:

• Para todo conjunto A, el producto cartesiano de A y el conjunto vacío es vacío:

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