Teoría De Conjuntos

TEORIA DE CONJUNTOS

Conjunto: La noción de conjunto es acepta como sinónimo de las nociones usual de colección, agrupación de objetos, etc. Los objetos de un conjunto se llaman: miembros o elementos, sin embargo, de éstos dos términos el más usado es “elemento”.

Cuando nos referimos a los objetos que componen un conjunto A, entonces usamos la palabra elementos del conjunto A.

Pertenencia: Lo necesario para dar un conjunto es conocer sus elementos. Estas dos palabras: conjunto y elemento, están relacionadas por la pertenencia o no de un determinado objeto a un determinado conjunto.

Las palabras conjunto y elemento son precisadas por las siguientes reglas:

a) Un conjunto X está bien definido cuando se dispone de un criterio para afirmar que cualquier objeto a, pertenece al conjunto X o si no pertenece al conjunto X. Si el objeto a pertenece al conjunto X se usa el símbolo de pertenencia “ϵ” escribiendo a ϵX, el cual se lee “a pertenece a X” o “a es un elemento de X”. Si el objeto a no pertenece al conjunto X se usa el símbolo de no pertenencia “∉”, así escribimos a ∉ X, el cual se lee “a no pertenece a X” o “a no es elemento de X”.

b) Un objeto no puede ser a la vez un conjunto y un elemento de ese conjunto, es decir, no es aceptado que pueda suceder a ϵ a.

Formas de expresar los conjuntos: Los conjuntos pueden ser expresados de las siguientes formas:

Por extensión: Cuando se nombran todos y cada uno de sus elementos.

Ejemplos 1.1.

Por comprensión: Cuando se indica una propiedad que caracteriza a sus elementos.

Ejemplos 1.2

Operaciones con conjuntos

Unión: La unión de los conjuntos A y B, que se denota A∪B, es el conjunto de todos los elementos de A o todos los elementos de B reunidos en uno solo (no se repite un mismo elemento).

En símbolos se expresa: A∪B = {x | x∈A ó x∈B}

Intersección: La intersección de los conjuntos A y B que se denota como A∩B es el conjunto de los elementos de A que también pertenecen a B. En notación de conjuntos se expresa: A∩B = {x | x∈A y x∈B}

Diferencia: La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que pertenecen a A, pero no a B. Se denota por: A – B = {x | x∈A y x∉B}

Complemento: Dado un conjunto A, el complemento de A, expresado AC, es el conjunto de los elementos que pertenecen al universo U y no pertenecen a A. Esto es: AC= {x | x∈U, x∉A}

Subconjunto: Se dice que un conjunto B es subconjunto de A, si todos los elementos de B pertenecen a A. En símbolos se expresa: B⊂A.

Subconjuntos importantes de los números reales (R)

ƒ Números naturales (N): 1, 2, 3, 4,...

Subconjunto, de los números reales, formado por los números que se obtienen al sumar sucesivamente 1. Son también llamados enteros positivos ( Z+ ).

ƒ Números enteros (Z): ...,-2, -1, 0, 1, 2,...

Subconjunto, de los números reales, formado por los negativos, el cero y los positivos, obtenidos al sumar sucesivamente 1 o -1.

ƒ Números racionales ( Q ):

Subconjunto, de los números reales, definido como

ƒ

Números irracionales (QC ):

Subconjunto, de los números reales, formado por los números que no pueden expresarse de la forma:

ƒ Los números reales están formados por la unión de los racionales y los irracionales

TEORIA AXIOMATICA DE CONJUNTOS

Una teoría axiomática es un modelo formal de una realidad que queremos estudiar. Está compuesta por axiomas, o sea, oraciones a partir de las cuales, usando sólo reglas lógicas, podamos obtener todas las propiedades de aquello que queremos modelar. Los axiomas tratan de establecer las características y propiedades esenciales de los objetos que estamos tratando de describir en nuestro modelo. El ideal será en primer lugar que los axiomas modelaran las intuiciones que tenemos de la realidad y en segundo lugar que la lista fuera completa, es decir, que todas y sólo aquellas propiedades de los objetos a describir se puedan obtener a partir de nuestra lista.

La teoría informal de conjuntos apela a la intuición para determinar cómo se comportan los conjuntos. Sin embargo, es sencillo plantear cuestiones acerca de las propiedades de estos que llevan a contradicción si se razona de esta manera, como la famosa paradoja de Russell. Históricamente esta fue una de las razones para el desarrollo de las teorías axiomáticas de conjuntos, siendo otra el interés en determinar exactamente qué enunciados acerca de los conjuntos necesitan que se asuma el polémico axioma de elección para ser demostrados.

Las teorías axiomáticas de conjuntos son colecciones precisas de axiomas escogidos para poder derivar todas las propiedades de los conjuntos con el suficiente rigor matemático. Algunos ejemplos conocidos son:

• La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel

• La teoría de conjuntos de Neumann-Bernays-Gödel

• La teoría de conjuntos de Morse-Kelley

DIFERENCIAS Y RELACIONES ENTRE LAS TEORIAS DE ZERMELO-FRAENKEL, NEUMANN-BERNAYS-GODEL Y MORSE-KELLEY.

La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel

El sistema axiomático de Zermelo y Fraenkel, abreviado ZF, supone que los conjuntos son ''cosas que no sabemos en realidad de donde han surgido, pero que se relacionan entre sí a través de ciertos axiomas''.

Para nosotros los conjuntos intuitivamente eran una bolsa que adentro contenía ciertos elementos.

Parecía haber una

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