Teoría De Conjuntos

CAPÍTULO 1

LÓGICA MATEMÁTICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS.

Introducción a la lógica matemática

La lógica matemática es importante ya que es el lenguaje básico que utilizará en su carrera el estudiante.

El alumno pregunta frecuentemente para que me sirve, le parece que no tendrá un uso inmediato, no determina, no es futurista puede decirse que es miope, ve solo de cerca, desea comprobar de inmediato; por ejemplo si le ofrecen un helado hoy y 3 para mañana, prefiere el uno hoy.

Entre los usos destaca la capacidad que adquirirá para reconocer entre argumentos válidos y no válidos; saber argumentar adecuadamente; como generalmente se dice, con lógica.

El alumno se familiarizará con un sistema axiomático, tendrá una comunicación inteligente y no como se escucha a veces por ejemplo “no hay ningún” (doble negación).

Podrá discernir expresiones políticas; hay quienes argumentan por ejemplo: Si gano las elecciones se terminará la corrupción, como sinónimo o conclusión, de si no gano las elecciones, no se terminará la corrupción.

Debemos ser consumidores inteligentes pues la propaganda llama la atención y nos hace pensar que ciertas cosas más o menos triviales son necesarias o de primera necesidad.

En general, está dirigido a que los estudiantes superan las dificultades que se presentan en la simbología, en el desarrollo de procesos lógicos, así como interpretar modelos matemáticos y discernir con lógica ciertas ambigüedades del idioma.

OBJETIVOS

Determinar valores de verdad de proposiciones moleculares y la validez de razonamientos.

Utilizar y demostrar leyes lógicas.

Emplear con propiedad la terminología de la lógica matemática y operar correctamente con conjuntos

Desarrollar estándares matemáticos adecuados con el cálculo numérico, el pensamiento crítico y creativo.

Discernir que el avance de la informática, electrónica,etc. Se debió antes que a la aritmética, a la lógica.

1.2 Enunciados y proposiciones

Toda oración que tiene sentido completo toma el nombre de enunciado; pero, los enunciados en los que se puede decidir directamente si es verdadero o falso se llaman enunciados proposicionales o proposiciones...

Toda proposición debe cumplir 2 axiomas:

1er axioma: Debe poder adjudicarse el valor de verdad o verdadero o falso (Tercer excluido)

2do Axioma: No puede ser verdadero o falso al mismo tiempo (No contradicción).

En este curso se estudiará únicamente desde el punto de vista de la lógica FORMAL es decir que no depende de las proposiciones sino de cómo están conectadas, solo sintaxis y no semántica a diferencia de la lógica difusa que fue creada con la informática para darle un comportamiento más humano o inteligente con apoyo de las probabilidades. Inteligencia artificial “Sistemas Expertos”

Ejemplo de Enunciados:

La capital del Ecuador es Quito.

El Cotopaxi es el volcán activo más alto del Ecuador.

Jefferson Pérez es el mejor deportista del país y es cuencano.

Cuanta emoción, cuanta angustia.

Dadme la libertad o dame la muerte.

5 + 7 = 12.

El Liceo Naval es multicampeón en natación.

Donde está la voluntad.

De los enunciado el 1, 2, 3, 6, 7, son proposiciones mientras las demás son enunciados.

Las proposiciones se denotan con letras minúsculas y pueden ser simple y compuestas; Una proposición es compuesta si está formada de dos o más proposiciones simples unidades mediante conectivas lógicas o conectores.

Ej: Jefferson Pérez es el mejor deportista del país y es cuencano.

Los principales conectores y conectivos lógicos son:

Negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.

El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de verdad de cada proposición simple y en función de la conectiva usada.

1.3 Conectivas lógicas. Tablas.

1.3.1 Conjunción. (Λ)

Se dice de dos proposiciones unidas mediante la conjunción gramatical i y se representa por el símbolo (Λ); así “p Λ q“, se lee “p i q”.

Por ejemplo: Para graduarse en la Politécnica debe ser inteligente y estudioso.

p: Para graduarse en la Politécnica debe ser inteligente

q: Para graduarse en la ESPOL debe ser estudioso.

“p Λ q“. Representa a la oración.

Además de la palabra i en ciertos casos se puede utilizar la coma, la palabra pero o más .Por ejemplo;

Me fui a invitarle a pasar a mi papá pero no le encontré.

Me fui a visitarle a mi hermano más no estuvo en casa.

Tabla de valores de verdad.

p q p Λ q p q p V q

V V V 1 1 1

V F F 1 0 0

F V F 0 1 0

F F F 0 0 0

La conjunción sólo es verdadera si ambas proposiciones simples son verdaderas

La conjunción también se la denomina Producto Lógico.

A la conjunción se la representa como la conexión de circuitos en serie. ( graf)

1.3.2 Disyunción. (V)

Se obtiene uniendo las proposiciones simples mediante la disyunción gramatical o así (p V q) se lee “p o q”.

La juventud actual estudia o trabaja.

e: La juventud actual estudia.

t: La juventud actual trabaja e V t

En ciertos casos la coma puede sustituir a este vocablo.

Ej: La mujer actual estudia, trabaja o ayuda en casa.

Tabla de verdad.

La disyunción solo es falsa cuando ambas proposiciones simples son falsas.

p q p V q p q p V q

V V V 1 1 1

V F V 1 0 1

F V V 0 1 1

F F F 0 0 0

A veces es necesario utilizar la V exclusiva ya que no admite las dos cosas a la vez: por Ejemplo Simón Bolívar nació en Quito ó en Caracas. Si nació en Caracas no pudo nacer en Quito. En nuestro caso al hablar de O consideraremos siempre sólo la o inclusiva.

1.3.3 Negación.

La negación es un conector que se antepone a la proposición para cambiar el valor de verdad de la proposición.

Se acostumbra a expresar de varias maneras así:

ℸp≡∽p≡p'〖≡p〗^c

Ejemplo: El Liceo Naval presenta cambios positivos en todos los aspectos (V).

Negación: ℸp se lee. No es verdad que el Liceo Naval presenta cambios positivos en todos los aspectos (F) o el Liceo Naval no presenta cambios positivo en todos los aspectos (F).

La negación de una negación es una afirmación. Ley de la doble negación.

Para negar proposiciones compuestas como p Λ q o p V q se niega cada proposición y se cambia la conectiva. Así:

Leyes de Morgan:

Ejemplo: Negar la proposición: El Ecuador estuvo en pie de guerra y supo defenderse.

g: Ecuador estuvo en pie de guerra

d: Ecuador supo defenderse.

Prop: g Λ d

Negación: ℸg V ℸd

Enunciado: Ecuador no estuvo en pie de guerra o no supo defenderse.

1.3.4 Condicional (→).

Se forma anteponiendo la palabra si a la primera preposición y la palabra entonces a la segunda preposición.

Ejemplo: Si un número es divisible para cuatro entonces es divisible para dos.

p: número divisible para 4.

q: número divisible para 2. “ p → q”

La primera proposición recibe el nombre de antecedente y la segunda consecuente.

Otros ejemplos:

Si una función es derivable en un punto entonces es continua en dicho punto.

El antecedente es suficiente. Es suficiente que sea derivable para que sea continua.

El consecuente es necesario. Es necesario que una función sea continua para que sea derivable.

Si es un buen esposo entonces es cariñoso, fiel y comprensivo, etc.

Si deseo obtener el trabajo entonces debo llevar certificado de buena conducta, honorabilidad, experiencia mínima, etc.

La palabra si y entonces pueden ser sustituidos por otras expresiones o lo que se dice parafraseando.

Si a = antecedente y b = consecuente a → b se tiene.

Si a entonces b

Es suficiente a para que b

Basta a para que b

a implica a b

a solo si b

Es necesario b para que a

b si a

Se tiene b siempre que a

b puesto que a

b ya que a

b cada vez que a

Ejemplo.

Si Juan ha venido tarde entonces el jefe está enfadado.

Es suficiente que Juan haya llegado tarde para que el jefe esté enfadado.

Basta que Juan haya llegado tarde para que el jefe esté enfadado.

El que Juan llegue tarde implica que el jefe se enfade.

Es necesario que el jefe esté enfadado para saber que Juan llegó tarde.

El jefe está enfadado si Juan llegó tarde.

Se tiene que

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