Teoría De Conjuntos

CAPÍTULO 1

LÓGICA MATEMÁTICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS.

Introducción a la lógica matemática

La lógica matemática es importante ya que es el lenguaje básico que utilizará en su carrera el estudiante.

El alumno pregunta frecuentemente para que me sirve, le parece que no tendrá un uso inmediato, no determina, no es futurista puede decirse que es miope, ve solo de cerca, desea comprobar de inmediato; por ejemplo si le ofrecen un helado hoy y 3 para mañana, prefiere el uno hoy.

Entre los usos destaca la capacidad que adquirirá para reconocer entre argumentos válidos y no válidos; saber argumentar adecuadamente; como generalmente se dice, con lógica.

El alumno se familiarizará con un sistema axiomático, tendrá una comunicación inteligente y no como se escucha a veces por ejemplo “no hay ningún” (doble negación).

Podrá discernir expresiones políticas; hay quienes argumentan por ejemplo: Si gano las elecciones se terminará la corrupción, como sinónimo o conclusión, de si no gano las elecciones, no se terminará la corrupción.

Debemos ser consumidores inteligentes pues la propaganda llama la atención y nos hace pensar que ciertas cosas más o menos triviales son necesarias o de primera necesidad.

En general, está dirigido a que los estudiantes superan las dificultades que se presentan en la simbología, en el desarrollo de procesos lógicos, así como interpretar modelos matemáticos y discernir con lógica ciertas ambigüedades del idioma.

OBJETIVOS

Determinar valores de verdad de proposiciones moleculares y la validez de razonamientos.

Utilizar y demostrar leyes lógicas.

Emplear con propiedad la terminología de la lógica matemática y operar correctamente con conjuntos

Desarrollar estándares matemáticos adecuados con el cálculo numérico, el pensamiento crítico y creativo.

Discernir que el avance de la informática, electrónica,etc. Se debió antes que a la aritmética, a la lógica.

1.2 Enunciados y proposiciones

Toda oración que tiene sentido completo toma el nombre de enunciado; pero, los enunciados en los que se puede decidir directamente si es verdadero o falso se llaman enunciados proposicionales o proposiciones...

Toda proposición debe cumplir 2 axiomas:

1er axioma: Debe poder adjudicarse el valor de verdad o verdadero o falso (Tercer excluido)

2do Axioma: No puede ser verdadero o falso al mismo tiempo (No contradicción).

En este curso se estudiará únicamente desde el punto de vista de la lógica FORMAL es decir que no depende de las proposiciones sino de cómo están conectadas, solo sintaxis y no semántica a diferencia de la lógica difusa que fue creada con la informática para darle un comportamiento más humano o inteligente con apoyo de las probabilidades. Inteligencia artificial “Sistemas Expertos”

Ejemplo de Enunciados:

La capital del Ecuador es Quito.

El Cotopaxi es el volcán activo más alto del Ecuador.

Jefferson Pérez es el mejor deportista del país y es cuencano.

Cuanta emoción, cuanta angustia.

Dadme la libertad o dame la muerte.

5 + 7 = 12.

El Liceo Naval es multicampeón en natación.

Donde está la voluntad.

De los enunciado el 1, 2, 3, 6, 7, son proposiciones mientras las demás son enunciados.

Las proposiciones se denotan con letras minúsculas y pueden ser simple y compuestas; Una proposición es compuesta si está formada de dos o más proposiciones simples unidades mediante conectivas lógicas o conectores.

Ej: Jefferson Pérez es el mejor deportista del país y es cuencano.

Los principales conectores y conectivos lógicos son:

Negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.

El valor de verdad de una proposición compuesta depende del valor de verdad de cada proposición simple y en función de la conectiva usada.

1.3 Conectivas lógicas. Tablas.

1.3.1 Conjunción. (Λ)

Se dice de dos proposiciones unidas mediante la conjunción gramatical i y se representa por el símbolo (Λ); así “p Λ q“, se lee “p i q”.

Por ejemplo: Para graduarse en la Politécnica debe ser inteligente y estudioso.

p: Para graduarse en la Politécnica debe ser inteligente

q: Para graduarse en la ESPOL debe ser estudioso.

“p Λ q“. Representa a la oración.

Además de la palabra i en ciertos casos se puede utilizar la coma, la palabra pero o más .Por ejemplo;

Me fui a invitarle a pasar a mi papá pero no le encontré.

Me fui a visitarle a mi hermano más no estuvo en casa.

Tabla de valores de verdad.

p q p Λ q p q p V q

V V V 1 1 1

V F F 1 0 0

F V F 0 1 0

F F F 0 0 0

La conjunción sólo es verdadera si ambas proposiciones simples son verdaderas

La conjunción también se la denomina Producto Lógico.

A la conjunción se la representa como la conexión de circuitos en serie.

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